Simplifique e indique quando não fizerem sentido, justificando por que não fazem sentido:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
onde
é o tensor de Levi-Civita em três dimensões e
são as componentes de um vetor
. Vamos usar a propriedade de antissimetria de
e a simetria do produto
.
Passo 2
Lembramos que o tensor de Levi-Civita é antissimétrico nas duas últimas inscrições, isto é,
Por outro lado, o produto
é simétrico na troca
, pois
Passo 3
Ao trocar
e
na soma sobre esses índices, a parte
muda de sinal enquanto
permanece a mesma. Logo, cada termo da soma aparece com sinal trocado e deve se anular com seu par. Concluímos que