Simplifique e indique quando não fizerem sentido, justificando por que não fazem sentido:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
onde é o símbolo de Levi–Civita e
.
O conteúdo envolvido é notação de índices em tensores e a relação com a operação rotacional (curl) em três dimensões.
onde
O conteúdo envolvido é notação de índices em tensores e a relação com a operação rotacional (curl) em três dimensões.
Passo 2
Observamos que os índices
e
estão repetidos, então há soma de
a
em cada um (convenção de Einstein). O índice
aparece apenas em
, portanto é o índice livre, ou seja, a expressão inteira define um objeto com componente
.
Passo 3
Usamos a propriedade de permutação cíclica do símbolo de Levi–Civita em três dimensões:
Em particular podemos reescrever
Passo 4
Reconhecemos que, por definição em coordenadas, a componente
do rotacional de um campo vetorial
é
Comparando com o resultado do passo anterior, concluímos que
Passo 5
Essa simplificação só faz sentido em três dimensões, pois o símbolo de Levi–Civita de três índices e o rotacional estão definidos em
. Em outras dimensões não existe diretamente essa relação.
Resposta
válido apenas em três dimensões.