Simplifique e indique quando não fizerem sentido, justificando por que não fazem sentido:
varepsiloni j k partiali vj

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
varepsilonijk,partialivj
onde varepsilonijk é o símbolo de Levi–Civita e partiali=partialpartial xi.
O conteúdo envolvido é notação de índices em tensores e a relação com a operação rotacional (curl) em três dimensões.

Passo 2

Observamos que os índices i e j estão repetidos, então há soma de 1 a 3 em cada um (convenção de Einstein). O índice k aparece apenas em varepsilonijk, portanto é o índice livre, ou seja, a expressão inteira define um objeto com componente k.

Passo 3

Usamos a propriedade de permutação cíclica do símbolo de Levi–Civita em três dimensões:
varepsilonijk ;=;varepsilonkij;=;varepsilonjki
Em particular podemos reescrever
varepsilonijk,partialivj ;=;varepsilonkij,partialivj

Passo 4

Reconhecemos que, por definição em coordenadas, a componente k do rotacional de um campo vetorial v é
(nablatimes v)k ;=;varepsilonkij,partialivj
Comparando com o resultado do passo anterior, concluímos que
varepsilonijk,partialivj ;=;(nablatimes v)k

Passo 5

Essa simplificação só faz sentido em três dimensões, pois o símbolo de Levi–Civita de três índices e o rotacional estão definidos em R^3. Em outras dimensões não existe diretamente essa relação.

Resposta

varepsilonijk,partialivj=(nablatimes v)k,
válido apenas em três dimensões.

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