Simplifique:
\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}-\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede para simplificar a expressão \left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}-\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}.
  • Informação dada: as duas quantidades dentro dos parênteses são combinações de exponenciais e^{x} e e^{-x}.

Passo 2

Uma identidade algébrica muito útil aqui é a diferença entre quadrados de somas e diferenças. Para quaisquer números (ou expressões) a e b vale:
(a+b)^{2}-(a-b)^{2}.
Vamos desenvolver as potências para ver o que isso vira. Expandindo os quadrados:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Subtraindo a segunda expressão da primeira:
(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=(a^{2}+2ab+b^{2})-(a^{2}-2ab+b^{2}).
Ao eliminar termos iguais ( a^{2} e b^{2}) obtemos:
(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab.
Portanto a identidade é
(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab.
Essa identidade é rápida de decorar e costuma economizar tempo na prova.

Passo 3

Agora aplicamos essa identidade ao nosso caso, tomando a=e^{x} e b=e^{-x}. Substituindo na identidade:
\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}-\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}=4\;e^{x}\;e^{-x}.
Aqui apenas trocamos a e b pelos valores dados.

Passo 4

Precisamos simplificar o produto e^{x}\,e^{-x}. Usamos a propriedade dos exponenciais:
e^{u}\,e^{v}=e^{u+v},
para quaisquer u e v. Aplicando com u=x e v=-x:
e^{x}\,e^{-x}=e^{x+(-x)}=e^{0}.
E sabemos que e^{0}=1. Logo
e^{x}\,e^{-x}=1.

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão obtida no Passo 3 temos:
\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{2}-\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{2}=4\cdot 1.

Resposta

4

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