Simplifique:
\ln \left(e^{2 x} \cdot e^{3 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \ln \left(e^{2 x} \cdot e^{3 x}\right).
Informações dadas: dentro do log há um produto de duas potências da base e, especificamente \,e^{2x} e \,e^{3x}. O objetivo é escrever essa expressão de forma mais simples (uma forma equivalente, mais reduzida).

Passo 2

Regra de potências (multiplicação de exponenciais com mesma base). Para quaisquer expoentes a e b vale a identidade
e^{a}\cdot e^{b}=e^{a+b}.
Intuição/justificativa rápida: multiplicar e^{a} por e^{b} corresponde a somar os expoentes, assim como em potências de qualquer base. Aplicando com a=2x e b=3x obtém-se
e^{2x}\cdot e^{3x}=e^{2x+3x}=e^{5x}.

Passo 3

Propriedade inversa logaritmo-exponencial. A função \ln(\cdot) é a função inversa da exponencial base e, logo para todo número real u vale
\ln\bigl(e^{u}\bigr)=u.
Observação sobre domínio: e^{u}>0 para todo u\in\mathbb{R}, então o argumento de \ln é positivo e a operação é válida para qualquer x real.

Passo 4

Aplicando as duas propriedades anteriores em cadeia: primeiro simplificamos o produto dentro do log,
\ln\left(e^{2x}\cdot e^{3x}\right)=\ln\bigl(e^{5x}\bigr),
e em seguida usamos que \ln(e^{u})=u com u=5x, obtendo
\ln\bigl(e^{5x}\bigr)=5x.

Passo 5

Método alternativo (pela propriedade do logaritmo do produto), para reforçar a ideia: como \ln(ab)=\ln a+\ln b,
\ln\left(e^{2x}\cdot e^{3x}\right)=\ln\bigl(e^{2x}\bigr)+\ln\bigl(e^{3x}\bigr)=2x+3x=5x,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

5x

Exercícios relacionados