Simplifique as expressões trigonométricas:
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a expressão
.
Informações relevantes dadas (apenas o que foi dado pelo enunciado):
- A expressão a simplificar é
. - Não há números ou valores fixos de
fornecidos.
Passo 2
Definições básicas que vamos usar (sempre escrevendo o que cada símbolo significa):
-
é a tangente de e, por definição em termos de seno e cosseno,
onde
é o seno de
e
é o cosseno de
.
-
é a cotangente de e, por definição,
Estas definições valem sempre que
(para
) e
(para
).
Passo 3
Substituir as definições na soma e colocar em denominar comum:
Para somar duas frações, usamos o mesmo denominador
:
Passo 4
Usar a identidade pitagórica para simplificar o numerador:
- Identidade pitagórica:
para todo .
Aplicando,
Portanto uma forma bem simples é
Passo 5
Apresentar formas equivalentes úteis (para a prova pode ser conveniente usar qualquer uma delas):
- Usando secante e cossecante (
, ):
- Usando a identidade do ângulo duplo
, tem-se
Todas as três expressões são equivalentes (quando estão definidas).
Passo 6
Domínio / observação importante (para não errar na prova):
- A expressão original
só está definida quando e . Ou seja, para todo inteiro (porque nesses pontos ou ou é zero). - As formas
, e têm exatamente o mesmo conjunto de permitidos (excluem tal que ou seja zero).