Simplifique as expressões trigonométricas:
\tan x+\operatorname{cotg} x

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão \tan x+\operatorname{cotg} x.
Informações relevantes dadas (apenas o que foi dado pelo enunciado):
  • A expressão a simplificar é \tan x+\operatorname{cotg} x.
  • Não há números ou valores fixos de x fornecidos.

Passo 2

Definições básicas que vamos usar (sempre escrevendo o que cada símbolo significa):
  • \tan x é a tangente de x e, por definição em termos de seno e cosseno,
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},
onde \sin x é o seno de x e \cos x é o cosseno de x.
  • \operatorname{cotg} x é a cotangente de x e, por definição,
\operatorname{cotg} x=\frac{\cos x}{\sin x}.
Estas definições valem sempre que \cos x\neq0 (para \tan x) e \sin x\neq0 (para \operatorname{cotg} x).

Passo 3

Substituir as definições na soma e colocar em denominar comum:
\tan x+\operatorname{cotg} x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}.
Para somar duas frações, usamos o mesmo denominador \sin x\cos x:
\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x} =\frac{\sin x\cdot\sin x+\cos x\cdot\cos x}{\sin x\cos x} =\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}.

Passo 4

Usar a identidade pitagórica para simplificar o numerador:
  • Identidade pitagórica: \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 para todo x.
    Aplicando,
\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}.
Portanto uma forma bem simples é
\tan x+\operatorname{cotg} x=\frac{1}{\sin x\cos x}.

Passo 5

Apresentar formas equivalentes úteis (para a prova pode ser conveniente usar qualquer uma delas):
  • Usando secante e cossecante ( \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, \csc x=\dfrac{1}{\sin x}):
\frac{1}{\sin x\cos x}=\operatorname{sec} x\csc x.
  • Usando a identidade do ângulo duplo \sin 2x=2\sin x\cos x, tem-se
\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}=2\csc 2x.
Todas as três expressões são equivalentes (quando estão definidas).

Passo 6

Domínio / observação importante (para não errar na prova):
  • A expressão original \tan x+\operatorname{cotg} x só está definida quando \sin x\neq0 e \cos x\neq0. Ou seja, x\neq k\frac{\pi}{2} para todo inteiro k (porque nesses pontos ou \sin x ou \cos x é zero).
  • As formas \dfrac{1}{\sin x\cos x}, \operatorname{sec} x\csc x e 2\csc 2x têm exatamente o mesmo conjunto de x permitidos (excluem x tal que \sin x ou \cos x seja zero).

Resposta

\dfrac{1}{\sin x\cos x}
\operatorname{sec} x\csc x
2\csc 2x

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