Simplifique f(x+h)-f(x)h(h neq 0) para f(x) igual a:
2 x-13 x+4

Passo 1

O enunciado pede para simplificar o quociente de diferenças f(x+h)-f(x)h para f(x)=2x-13x+4. O conteúdo aqui é derivada pelo limite (mas sem limite, apenas a diferença dividida por h), e vamos precisar usar álgebra de frações e fatoração.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(x+h). Basta substituir x por x+h em f(x):
f(x+h)=2(x+h)-13(x+h)+4=2x+2h-13x+3h+4

Passo 3

Agora escrevemos a diferença f(x+h)-f(x) com denominadores diferentes. Usamos o MMC que é (3x+3h+4)(3x+4):
f(x+h)-f(x)=2x+2h-13x+3h+4-2x-13x+4 =(2x+2h-1)(3x+4)-(2x-1)(3x+3h+4)(3x+3h+4)(3x+4)

Passo 4

Vamos desenvolver o numerador. Primeiro expandimos cada produto:
(2x+2h-1)(3x+4)=6x^2+8x+6xh+8h-3x-4=6x^2+6xh+5x+8h-4,
(2x-1)(3x+3h+4)=6x^2+6xh+8x-3x-3h-4=6x^2+6xh+5x-3h-4

Passo 5

Subtraindo as duas expressões no numerador:
(6x^2+6xh+5x+8h-4)-(6x^2+6xh+5x-3h-4)=8h-4-(-3h-4)=8h-4+3h+4=11h

Passo 6

Então
f(x+h)-f(x)=11h(3x+3h+4)(3x+4)

Passo 7

Finalmente dividimos por h (lembrando hneq0), ou seja, multiplicamos por 1/h:
f(x+h)-f(x)h=11hh,(3x+3h+4)(3x+4)=11(3x+3h+4)(3x+4)

Resposta

dfrac11(3x+3h+4),(3x+4)

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