Simplifique f(x+h)-f(x)h(h neq 0) sendo f(x) igual a
  • 2 x+1
  • -2 x^2+4
  • x^2-2 x
  • x^3-4 x+3
  • 2 x^2-x
  • x^2+1
  • x^2+2 x+3
  • x^3+2 x
  • 3 x^2+x
  • 1x
  • 1x^2
  • 1x+2

Passo 1

A questão pede para simplificar o quociente de diferenças f(x+h)-f(x)h (com hneq0) para cada uma das funções dadas. Vamos usar o conteúdo de expansão de polinômios, frações algébricas e a propriedade básica de subtração de funções.

Passo 2

Para funções lineares da forma f(x)=ax+b, a expansão de f(x+h) é a(x+h)+b=ax+ah+b. Assim,
f(x+h)-f(x)h=(ax+ah+b)-(ax+b)h=ahh=a
No nosso caso, para f(x)=2x+1 temos a=2, logo
f(x+h)-f(x)h=2

Passo 3

Para funções quadráticas f(x)=ax^2+bx+c, expandimos f(x+h)=a(x+h)^2+b(x+h)+c=a(x^2+2xh+h^2)+bx+bh+c. Subtraindo f(x) e dividindo por h obtemos
f(x+h)-f(x)h=2axh+ah^2+bhh=2ax+b+ah
Aplicando isso a cada quadrática:
f(x)=-2x^2+4:;-4x-2h,
f(x)=x^2-2x:;2x-2+h,
f(x)=2x^2-x:;4x-1+2h,
f(x)=x^2+1:;2x+h,
f(x)=x^2+2x+3:;2x+2+h,
(f(x)=3x^2+x:;6x+1+3h.]

Passo 4

Para funções cúbicas f(x)=ax^3+bx+d, expandimos f(x+h)=a(x+h)^3+b(x+h)+d e obtemos, após subtração,
f(x+h)-f(x)h=3ax^2+3axh+ah^2+b
Aplicando:
f(x)=x^3-4x+3:;3x^2-4+3xh+h^2,
(f(x)=x3+2x:;3x2+2+3xh+h^2.]

Passo 5

Para funções recíprocas ou racionais, usamos a diferença de frações:
1/(g(x+h))-1/(g(x))h=g(x)-g(x+h)h,g(x)g(x+h)Assim:
f(x)=1/x:;-1/[x(x+h)],
f(x)=1/x^2:;-(2x+h)/[x^2(x+h)^2],
(f(x)=1/(x+2):;-1/[(x+2)(x+2+h)].]

Resposta

2x+1: 2
-2 x^{2}+4: -4x-2h
x^{2}-2x: 2x-2+h
x^{2}+2x: — (não listada)
x^{3}-4x+3: 3x2-4+3xh+h2
2x^{2}-x: 4x-1+2h
x^{2}+1: 2x+h
x^{2}+2x+3: 2x+2+h
x^{3}+2x: 3x2+2+3xh+h2
3x^{2}+x: 6x+1+3h
1/x: -1/[x(x+h)]
1/x^{2}: -(2x+h)/[x2(x+h)2]
1/(x+2): -1/[(x+2)(x+2+h)]

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