Determine o domínio.
f(x)=raiz2 x-13 x+1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x)=\sqrt{\frac{2x-1}{3x+1}} e queremos achar o domínio. O conteúdo envolvido é domínio de funções radical e resolução de inequação racional, pois o radicando deve ser maior ou igual a zero e o denominador não pode ser zero.

Passo 2

Condição de existência da raiz: para \sqrt{\cdot} faz sentido, é preciso que o radicando seja não-negativo. Então impomos 2x-13x+1>=0. Além disso, por se tratar de uma fração, o denominador não pode anular-se: 3x+1neq0.

Passo 3

Determinação dos pontos críticos: resolvemos as equações 2x-1=0 e 3x+1=0. Da primeira vem x=tfrac12 (radicando zero), e da segunda x=-tfrac13 (denominador zero).

Passo 4

Análise de sinais por intervalos: dividimos a reta real em três partes segundo os pontos -infty, -tfrac13, tfrac12, +infty. Testando o sinal de 2x-1 e de 3x+1 em cada intervalo: para x<-1/3, numerador e denominador são negativos → fração positiva; para -1/3<x<1/2, numerador negativo e denominador positivo → fração negativa; para x>1/2, numerador e denominador positivos → fração positiva.

Passo 5

Construção do domínio: queremos \frac{2x-1}{3x+1}\ge0, ou seja, x<-1/3 ou x≥1/2. Entretanto x=-1/3 é proibido (denominador zero) e x=1/2 é permitido (radicando zero). Assim o domínio é (-∞, -1/3) ∪ [1/2, ∞).

Resposta

(-\infty, -1/3) \cup [1/2, \infty)

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