Determine o domínio.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função f(x)=\sqrt{\frac{2x-1}{3x+1}} e queremos achar o domínio. O conteúdo envolvido é domínio de funções radical e resolução de inequação racional, pois o radicando deve ser maior ou igual a zero e o denominador não pode ser zero.
Passo 2
Condição de existência da raiz: para \sqrt{\cdot} faz sentido, é preciso que o radicando seja não-negativo. Então impomos
. Além disso, por se tratar de uma fração, o denominador não pode anular-se:
.
Passo 3
Determinação dos pontos críticos: resolvemos as equações
e
. Da primeira vem
(radicando zero), e da segunda
(denominador zero).
Passo 4
Análise de sinais por intervalos: dividimos a reta real em três partes segundo os pontos
. Testando o sinal de
e de
em cada intervalo: para x<-1/3, numerador e denominador são negativos → fração positiva; para -1/3<x<1/2, numerador negativo e denominador positivo → fração negativa; para x>1/2, numerador e denominador positivos → fração positiva.
Passo 5
Construção do domínio: queremos \frac{2x-1}{3x+1}\ge0, ou seja, x<-1/3 ou x≥1/2. Entretanto x=-1/3 é proibido (denominador zero) e x=1/2 é permitido (radicando zero). Assim o domínio é (-∞, -1/3) ∪ [1/2, ∞).
Resposta
(-\infty, -1/3) \cup [1/2, \infty)