Simplifique, se possível, as expressões abaixo
\frac{x^{2}+15 x-2}{x^{2}+15 x-2}

Passo 1

O enunciado dá a expressão a ser simplificada:
\frac{x^{2}+15x-2}{x^{2}+15x-2}.
O que se pede: simplificar essa expressão (se possível) e indicar as restrições de domínio que surgem ao simplificar (ou seja, valores de x para os quais a expressão original não está definida).
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é x^{2}+15x-2.
  • O denominador é x^{2}+15x-2 (idêntico ao numerador).

Passo 2

Regra importante (explicação didática): para um quociente de polinômios \dfrac{P(x)}{Q(x)}, pode-se simplificar cancelando fatores comuns entre P(x) e Q(x). Entretanto isso só é legítimo para os valores de x em que o denominador Q(x) é diferente de zero, porque divisão por zero não é permitida.
Exemplo concreto curto para fixar a ideia: considere
\frac{x^{2}-1}{x-1}.
O numerador fatoriza como (x-1)(x+1), então para x\neq1 pode-se cancelar (x-1) e obter
\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1\qquad (x\neq1).
Repare que não podemos afirmar igualdade para x=1 porque a expressão original não está definida em x=1.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: o numerador e o denominador são exatamente o mesmo polinômio. Portanto, sempre que o denominador for diferente de zero, o quociente vale 1. Formalmente:
\frac{x^{2}+15x-2}{x^{2}+15x-2}=1\qquad\text{desde que }x^{2}+15x-2\neq0.

Passo 4

Agora determinamos os valores de x que anulam o denominador (esses valores devem ser excluídos do domínio). Resolvemos
x^{2}+15x-2=0.
Calcule o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 15^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=225+8=233.
As raízes são
x=\frac{-15\pm\sqrt{233}}{2}.
Portanto o denominador é zero exatamente em x=\dfrac{-15+\sqrt{233}}{2} e x=\dfrac{-15-\sqrt{233}}{2}.

Passo 5

Conclusão final: a expressão simplifica para 1, com a ressalva de que os dois valores encontrados acima devem ser excluídos (pois tornariam o denominador zero). Em outras palavras, a igualdade com 1 vale para todos os x exceto as raízes do denominador.

Resposta

1,\\ \text{para } x \neq \dfrac{-15\pm\sqrt{233}}{2}

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