Simplifique, se possível, as expressões abaixo
\frac{x^{2}-y}{15 y}

Passo 1

O enunciado dá a expressão racional \displaystyle \frac{x^{2}-y}{15 y} e pede para “simplificar, se possível”.
Informações dadas:
  • A expressão é \displaystyle \frac{x^{2}-y}{15 y}.
    O que se pede:
  • Obter uma forma equivalente mais simples ou mais conveniente dessa expressão, usando operações algébricas válidas (sem substituir valores para x ou y).

Passo 2

O que significa “simplificar” aqui? Vou explicar de um jeito prático. Para frações algébricas, simplificar normalmente envolve:
  • procurar fatores comuns no numerador e no denominador que possam ser cancelados; ou
  • reescrever a fração em termos mais elementares, por exemplo dividindo termos separados, usando a identidade
\frac{A+B}{C}=\frac{A}{C}+\frac{B}{C},
que vale para quaisquer expressões A,B,C (com C\neq0).
Essa identidade é útil porque às vezes o numerador não tem um fator comum com o denominador, mas separando a fração obtemos termos mais simples.

Passo 3

Aplicando a identidade com A=x^{2}, B=-y e C=15y, temos
\frac{x^{2}-y}{15y}=\frac{x^{2}}{15y}+\frac{-y}{15y}.
Agora simplificamos o segundo termo, pois \dfrac{-y}{15y} tem y em cima e embaixo (desde que y\neq0), então podemos cancelar y:
\frac{-y}{15y}=-\frac{1}{15}.
Portanto a expressão fica
\frac{x^{2}-y}{15y}=\frac{x^{2}}{15y}-\frac{1}{15}.

Passo 4

Outra forma útil é tirar o fator comum \dfrac{1}{15} em evidência; isso deixa a expressão com um fator fora e uma expressão mais simples dentro:
\frac{x^{2}}{15y}-\frac{1}{15}=\frac{1}{15}\left(\frac{x^{2}}{y}-1\right).
Ambas as formas são equivalentes e frequentemente consideradas “mais simples” do que a escrita original, dependendo do que se deseja (por exemplo, para integrar, derivar ou avaliar).

Passo 5

Comentário sobre cancelamento direto de y no numerador: só é possível cancelar um fator y diretamente se o numerador tiver y como fator multiplicativo comum. Aqui o numerador é x^{2}-y; em geral isso não tem o fator y em comum (a menos que exista uma relação especial entre x e y, por exemplo se x^{2}=ky para algum k, o que não foi dado). Portanto a única simplificação geral e válida para todo x,y (com y\neq0) é aquela que fizemos nos passos anteriores.

Passo 6

Resumo prático: as duas formas equivalentes e simplificadas que costumam ser mais úteis são
\frac{x^{2}}{15y}-\frac{1}{15}
e
\frac{1}{15}\left(\frac{x^{2}}{y}-1\right),
válidas para y\neq0.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{15y}-\frac{1}{15}

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