Simplifique, se possível, as expressões abaixo
Passo 1
O enunciado dá a expressão racional
e pede para “simplificar, se possível”.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão é
.
O que se pede: - Obter uma forma equivalente mais simples ou mais conveniente dessa expressão, usando operações algébricas válidas (sem substituir valores para
ou ).
Passo 2
O que significa “simplificar” aqui? Vou explicar de um jeito prático. Para frações algébricas, simplificar normalmente envolve:
- procurar fatores comuns no numerador e no denominador que possam ser cancelados; ou
- reescrever a fração em termos mais elementares, por exemplo dividindo termos separados, usando a identidade
que vale para quaisquer expressões
(com
).
Essa identidade é útil porque às vezes o numerador não tem um fator comum com o denominador, mas separando a fração obtemos termos mais simples.
Essa identidade é útil porque às vezes o numerador não tem um fator comum com o denominador, mas separando a fração obtemos termos mais simples.
Passo 3
Aplicando a identidade com
,
e
, temos
Agora simplificamos o segundo termo, pois
tem
em cima e embaixo (desde que
), então podemos cancelar
:
Portanto a expressão fica
Passo 4
Outra forma útil é tirar o fator comum
em evidência; isso deixa a expressão com um fator fora e uma expressão mais simples dentro:
Ambas as formas são equivalentes e frequentemente consideradas “mais simples” do que a escrita original, dependendo do que se deseja (por exemplo, para integrar, derivar ou avaliar).
Passo 5
Comentário sobre cancelamento direto de
no numerador: só é possível cancelar um fator
diretamente se o numerador tiver
como fator multiplicativo comum. Aqui o numerador é
; em geral isso não tem o fator
em comum (a menos que exista uma relação especial entre
e
, por exemplo se
para algum
, o que não foi dado). Portanto a única simplificação geral e válida para todo
(com
) é aquela que fizemos nos passos anteriores.
Passo 6
Resumo prático: as duas formas equivalentes e simplificadas que costumam ser mais úteis são
e
válidas para
.