Simplifique as proposições
\sim(p \vee \sim q)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a proposição lógica \sim(p \vee \sim q).
Informações dadas:
  • A fórmula a ser simplificada é \sim(p \vee \sim q).
  • Não há outras restrições ou hipóteses; devemos transformar essa fórmula numa forma equivalente mais simples.

Passo 2

Vamos lembrar o que significam os conectivos envolvidos (explicação passo a passo, sem pular nada):
  • Negação: \sim A significa "não A". Se A é verdadeira ( 1) então \sim A é falsa ( 0), e vice-versa.
  • Disjunção (ou): A \vee B é verdadeira se pelo menos um entre A ou B for verdadeiro; é falsa só quando ambos são falsos.
  • Conjunção (e): A \wedge B é verdadeira somente quando A e B são verdadeiros; caso contrário é falsa.
Esses conceitos são básicos; pense em “ou” como o “pelo menos um” e em “e” como o “ambos”.

Passo 3

Uma ferramenta-chave para simplificar negações que envolvem \vee e \wedge é a Lei de De Morgan. Ela diz, formalmente:
\sim(A \vee B)\equiv (\sim A)\wedge(\sim B) \qquad\text{e}\qquad \sim(A \wedge B)\equiv (\sim A)\vee(\sim B).
Intuição: negar “A ou B” significa que nenhum dos dois pode ser verdadeiro — logo “não A e não B”. Vou aplicar essa lei ao nosso caso.

Passo 4

Aplicando a Lei de De Morgan à fórmula \sim(p \vee \sim q), tomamos A = p e B = \sim q. Assim:
\sim(p \vee \sim q)\equiv (\sim p)\wedge(\sim(\sim q)).
Expliquei cada substituição: a negação da disjunção é a conjunção das negações.

Passo 5

Agora usamos a regra da dupla negação. A dupla negação afirma que para qualquer proposição R,
\sim(\sim R)\equiv R.
Isto é óbvio pela definição de negação: “não (não R)” é simplesmente “R”. Aplicando isso com R=q obtemos \sim(\sim q)\equiv q.
Substituindo em (\sim p)\wedge(\sim(\sim q)) obtemos:
(\sim p)\wedge(\sim(\sim q))\equiv (\sim p)\wedge q.

Passo 6

Portanto, por De Morgan seguido de dupla negação temos a equivalência desejada:
\sim(p \vee \sim q)\equiv (\sim p)\wedge q.

Passo 7

Para ficar totalmente seguro (e aprender uma técnica útil para a prova), vamos verificar a equivalência com uma tabela de verdade — isso prova sem dúvida que as duas fórmulas têm os mesmos valores em todos os casos. Vou escrever as quatro linhas possíveis para p e q usando 1 = verdadeiro e 0 = falso:
  • Caso 1: p=1,\; q=1.
    • \sim q = 0.
    • p \vee \sim q = 1 \vee 0 = 1.
    • \sim(p \vee \sim q) = \sim 1 = 0.
    • \sim p = 0.
    • \sim p \wedge q = 0 \wedge 1 = 0.
      Resultado: ambas as fórmulas valem 0.
  • Caso 2: p=1,\; q=0.
    • \sim q = 1.
    • p \vee \sim q = 1 \vee 1 = 1.
    • \sim(p \vee \sim q) = \sim 1 = 0.
    • \sim p = 0.
    • \sim p \wedge q = 0 \wedge 0 = 0.
      Resultado: ambas valem 0.
  • Caso 3: p=0,\; q=1.
    • \sim q = 0.
    • p \vee \sim q = 0 \vee 0 = 0.
    • \sim(p \vee \sim q) = \sim 0 = 1.
    • \sim p = 1.
    • \sim p \wedge q = 1 \wedge 1 = 1.
      Resultado: ambas valem 1.
  • Caso 4: p=0,\; q=0.
    • \sim q = 1.
    • p \vee \sim q = 0 \vee 1 = 1.
    • \sim(p \vee \sim q) = \sim 1 = 0.
    • \sim p = 1.
    • \sim p \wedge q = 1 \wedge 0 = 0.
      Resultado: ambas valem 0.
Em todas as quatro linhas os valores coincidem, confirmando a equivalência.

Passo 8

Resumo didático e dica de prova:
  • Quando vir uma negação na frente de uma disjunção ( \sim(\cdot \vee \cdot)), aplique De Morgan e passe para uma conjunção das negações.
  • Depois sempre cheque se há dupla negação para simplificar.
  • Se estiver em dúvida, faça a tabela de verdade com as poucas linhas possíveis (para duas proposições são só 4 linhas), isso confirma a equivalência rapidamente.

Resposta

\sim p \wedge q

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