Simplifique as proposições
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a proposição lógica
.
Informações dadas:
- A fórmula a ser simplificada é
. - Não há outras restrições ou hipóteses; devemos transformar essa fórmula numa forma equivalente mais simples.
Passo 2
Vamos lembrar o que significam os conectivos envolvidos (explicação passo a passo, sem pular nada):
- Negação:
significa "não ". Se é verdadeira ( ) então é falsa ( ), e vice-versa. - Disjunção (ou):
é verdadeira se pelo menos um entre ou for verdadeiro; é falsa só quando ambos são falsos. - Conjunção (e):
é verdadeira somente quando e são verdadeiros; caso contrário é falsa.
Esses conceitos são básicos; pense em “ou” como o “pelo menos um” e em “e” como o “ambos”.
Passo 3
Uma ferramenta-chave para simplificar negações que envolvem
e
é a Lei de De Morgan. Ela diz, formalmente:
Intuição: negar “A ou B” significa que nenhum dos dois pode ser verdadeiro — logo “não A e não B”. Vou aplicar essa lei ao nosso caso.
Passo 4
Aplicando a Lei de De Morgan à fórmula
, tomamos
e
. Assim:
Expliquei cada substituição: a negação da disjunção é a conjunção das negações.
Passo 5
Agora usamos a regra da dupla negação. A dupla negação afirma que para qualquer proposição
,
Isto é óbvio pela definição de negação: “não (não R)” é simplesmente “R”. Aplicando isso com
obtemos
.
Substituindo em
obtemos:
Passo 6
Portanto, por De Morgan seguido de dupla negação temos a equivalência desejada:
Passo 7
Para ficar totalmente seguro (e aprender uma técnica útil para a prova), vamos verificar a equivalência com uma tabela de verdade — isso prova sem dúvida que as duas fórmulas têm os mesmos valores em todos os casos. Vou escrever as quatro linhas possíveis para
e
usando
= verdadeiro e
= falso:
-
Caso 1:
. -
. -
. -
. -
. -
.
Resultado: ambas as fórmulas valem.
-
-
Caso 2:
. -
. -
. -
. -
. -
.
Resultado: ambas valem.
-
-
Caso 3:
. -
. -
. -
. -
. -
.
Resultado: ambas valem.
-
-
Caso 4:
. -
. -
. -
. -
. -
.
Resultado: ambas valem.
-
Em todas as quatro linhas os valores coincidem, confirmando a equivalência.
Passo 8
Resumo didático e dica de prova:
- Quando vir uma negação na frente de uma disjunção (
), aplique De Morgan e passe para uma conjunção das negações. - Depois sempre cheque se há dupla negação para simplificar.
- Se estiver em dúvida, faça a tabela de verdade com as poucas linhas possíveis (para duas proposições são só 4 linhas), isso confirma a equivalência rapidamente.