• 9 Quatro pontos distintos A, B, C e D são escolhidos entre 1996 pontos igualmente espaçados sobre uma circunferência. Todos os conjuntos de quatro pontos são igualmente prováveis. Qual é a probabilidade de que a corda AB intercepte a corda CD ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 1996 pontos igualmente espaçados sobre uma circunferência.
  • Escolhem-se quatro pontos distintos, chamados A,B,C,D.
  • Todos os conjuntos de quatro pontos são igualmente prováveis.
    A pergunta é: qual é a probabilidade de que a corda AB intercepte (cruze) a corda CD?

Passo 2

Entender quando duas cordas formadas por quatro pontos na circunferência se intersectam. Considere quatro pontos distintos na circunferência e escreva-os na ordem circular como P_1,P_2,P_3,P_4 (percorrendo a circunferência num sentido). Duas cordas formadas por esses pontos intersectam se, e somente se, os extremos das duas cordas aparecem intercalados ao longo da circunferência. Em outras palavras, as cordas XY e ZW se cruzam exatamente quando, na ordem circular, os pontos aparecem em uma sequência do tipo X, Z, Y, W (ou qualquer rotação/reflexão equivalente) — isto é, os extremos de uma corda não estão ambos em um mesmo arco entre os extremos da outra corda.
Explicação intuitiva: se os extremos de uma corda estão ambos dentro de um mesmo arco definido pela outra corda, então essa corda fica inteira naquele arco e não pode cruzar a outra. Logo a condição para cruzamento é a alternância dos extremos.

Passo 3

Lista das possíveis maneiras de emparelhar quatro pontos. Para os quatro pontos P_1,P_2,P_3,P_4 em ordem circular, as três possíveis formas de emparelhá-los em duas cordas são:
(P_1,P_2)\\ \text{com}\\ (P_3,P_4),\qquad (P_1,P_3)\\ \text{com}\\ (P_2,P_4),\qquad (P_1,P_4)\\ \text{com}\\ (P_2,P_3).
Aplicando o critério do passo anterior, apenas o emparelhamento (P_1,P_3) com (P_2,P_4) tem extremos alternados na ordem circular (P_1,P_2,P_3,P_4); portanto apenas esse emparelhamento produz cordas que se interceptam. Logo, para qualquer conjunto fixo de quatro pontos na circunferência, exatamente um dos três emparelhamentos possíveis gera cordas que se cruzam.

Passo 4

Relacionando isso com a configuração com letras A,B,C,D. O enunciado escolhe um conjunto de quatro pontos (todos os conjuntos são igualmente prováveis) e lhes dá nomes A,B,C,D. Para um conjunto fixo de quatro pontos, há exatamente três maneiras diferentes de formar as duas cordas chamando pares de pontos de AB e CD (essas três maneiras correspondem às três partições em dois pares). Das três possibilidades, como vimos, só uma leva a cordas que se cruzam.
Pelo princípio da equiprobabilidade entre os conjuntos (e pela simetria entre as maneiras de nomear/empacotar os pontos), a chance de que, ao escolher um conjunto de quatro pontos e considerar as cordas AB e CD conforme os nomes dados, tenhamos o emparelhamento que cruza é exatamente
\frac{1}{3}.

Passo 5

(Contagem alternativa, para quem gosta de ver números.) Fixe uma ordem circular dos quatro pontos (P_1,P_2,P_3,P_4). Se os rótulos A,B,C,D são atribuídos aleatoriamente aos quatro pontos (ou equivalentemente se considerarmos todas as permutações dos rótulos igualmente prováveis), então o número total de atribuições é 4!=24. Para que AB e CD sejam as duas diagonais opostas (isto é, o emparelhamento que cruza), podemos ter:
  • AB igual a (P_1,P_3) em duas ordens e CD igual a (P_2,P_4) em duas ordens, total 2\cdot2=4 atribuições; ou
  • AB igual a (P_2,P_4) em duas ordens e CD igual a (P_1,P_3) em duas ordens, mais 4 atribuições.
    No total 8 atribuições favoráveis entre 24, o que dá novamente
\frac{8}{24}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Conclusão e interpretação final: o resultado não depende de 1996 (basta que haja pelo menos 4 pontos) — para quaisquer quatro pontos distintos na circunferência, exatamente um terço das maneiras de emparelhar os pontos dão cordas que se cruzam. Portanto a probabilidade pedida é \tfrac{1}{3}. Força aí — fica mais uma tarefa de café com matemática vencida!

Resposta

\dfrac{1}{3}

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