Simplifique as proposições
\sim(\sim p \wedge q)

Passo 1

O enunciado pede: simplificar a proposição \lnot(\lnot p \wedge q).
Informações dadas:
  • As proposições atômicas são p e q.
  • Os conectivos presentes são negação \lnot e conjunção \wedge.
  • O objetivo é transformar a fórmula em uma forma equivalentes mais simples, usando equivalências lógicas.

Passo 2

Lembrete das equivalências que vamos usar (com explicação curtinha e intuitiva):
  • Lei de De Morgan para negação de uma conjunção: \lnot(A \wedge B) \equiv \lnot A \vee \lnot B.Significado: “a negação de (A e B) é equivalente a (não A) ou (não B)”. Intuitivo: para que não valha “A e B” basta que pelo menos um dos dois seja falso.
  • Dupla negação: \lnot(\lnot X) \equiv X.Significado: negar duas vezes devolve o valor original.
  • Equivalência implicacional: (A \to B) \equiv \lnot A \vee B.Significado: “se A então B” é falso só quando A é verdadeiro e B é falso; em termos de ou, é \lnot A ou B.
Essas são ferramentas padrão para simplificar fórmulas proposicionais. Vamos aplicá‑las passo a passo.

Passo 3

Aplicar De Morgan à proposição original, tomando A=\lnot p e B=q. Pela lei de De Morgan:
\lnot(\lnot p \wedge q) \equiv \lnot(\lnot p) \vee \lnot q.

Passo 4

Aplicar dupla negação no termo \lnot(\lnot p):
\lnot(\lnot p) \equiv p.
Então a expressão do Passo 3 fica
\lnot(\lnot p \wedge q) \equiv p \vee \lnot q.

Passo 5

Uma forma alternativa, útil em provas, é reconhecer p \vee \lnot q como uma implicação:
p \vee \lnot q \equiv \lnot q \vee p \equiv (q \to p).
Ou seja, a fórmula é equivalente a q \to p. Isso pode ser útil dependendo do contexto da prova.

Passo 6

Verificação rápida por casos (tabela mental de verdade) para confirmar que a equivalência funciona:
  • p=T, q=T: original \lnot(\lnot T \wedge T)=\lnot(F \wedge T)=\lnot F = T. Simplificada p \vee \lnot q = T \vee F = T.
  • p=T, q=F: original \lnot(\lnot T \wedge F)=\lnot(F \wedge F)=\lnot F = T. Simplificada T \vee T = T.
  • p=F, q=T: original \lnot(\lnot F \wedge T)=\lnot(T \wedge T)=\lnot T = F. Simplificada F \vee F = F.
  • p=F, q=F: original \lnot(\lnot F \wedge F)=\lnot(T \wedge F)=\lnot F = T. Simplificada F \vee T = T.
Os valores batem em todos os casos, confirmando a equivalência.

Passo 7

Dica prática para a prova (amigável e rápida): quando ver \lnot(\; \cdot \wedge \cdot\;) já pense em De Morgan e depois cheque se aparece dupla negação — geralmente isso resolve em 1 ou 2 passos. Respira fundo, faz com calma, e repete o padrão algumas vezes que pega o jeito rápido.

Resposta

p \vee \lnot q

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