Use o método dedutivo para demonstrar
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a implicação
.
Informações dadas: nenhuma hipótese adicional; e
são proposições quaisquer.
O objetivo final é mostrar que, se a conjunção (isto é,
e não-
ao mesmo tempo) fosse verdadeira, então qualquer proposição
segue.
Informações dadas: nenhuma hipótese adicional;
O objetivo final é mostrar que, se a conjunção
Passo 2
Assumir temporariamente o antecedente da implicação. Isto é, faço a suposição provisória
Explicação didática: para provar uma implicação
pelo método dedutivo usual, assume-se
e tenta-se deduzir
. Se conseguir, pode-se então concluir
desconsiderando a suposição.
Passo 3
Separar os componentes da conjunção usando eliminação da conjunção (
-elim). Da linha 1 obtemos
Explicação didática: a regra
-elim permite que, de uma fórmula do tipo
, se extraia
(ou
). Aqui
é
.
Passo 4
Extrair o outro conjunto também por
-elim:
Explicação didática: análogo ao passo anterior, agora extraímos a segunda parte
da conjunção
.
Passo 5
Obter uma contradição (símbolo
) a partir de
e
:
Explicação didática: a fórmula
significa, intuitivamente, que
leva à falsidade; ter simultaneamente
e
é uma situação impossível — chamamos isso de contradição, representada por
. Em sistemas de dedução natural, de
e
se inferem
.
Passo 6
Aplicar a regra do “ex falso quodlibet” (princípio da explosão): de uma contradição
pode-se inferir qualquer proposição
:
Explicação didática: a regra diz que se o sistema está em contradição (tem
), então qualquer fórmula pode ser derivada. Intuição informal: uma vez que se aceitou uma contradição, qualquer afirmação passa a ser deduzível (por isso contradições devem ser evitadas).
Passo 7
Descarregar a suposição inicial e concluir a implicação por introdução da implicação (
-intro):
Explicação didática: como a partir da suposição
chegamos a
, podemos concluir que essa suposição implica
. Ou seja, provamos formalmente
.