Use o método dedutivo para demonstrar
p \wedge \sim p \Rightarrow q

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a implicação \,p \wedge \neg p \Rightarrow q\,.
Informações dadas: nenhuma hipótese adicional; p e q são proposições quaisquer.
O objetivo final é mostrar que, se a conjunção \,p \wedge \neg p\, (isto é, p e não- p ao mesmo tempo) fosse verdadeira, então qualquer proposição q segue.

Passo 2

Assumir temporariamente o antecedente da implicação. Isto é, faço a suposição provisória
1.\quad p \wedge \neg p \quad \text{(suposição)}çã
Explicação didática: para provar uma implicação \,A \Rightarrow B\, pelo método dedutivo usual, assume-se A e tenta-se deduzir B. Se conseguir, pode-se então concluir \,A \Rightarrow B\, desconsiderando a suposição.

Passo 3

Separar os componentes da conjunção usando eliminação da conjunção ( \wedge-elim). Da linha 1 obtemos
2.\quad p \quad (\wedge\text{-elim a partir de }1).
Explicação didática: a regra \wedge-elim permite que, de uma fórmula do tipo X \wedge Y, se extraia X (ou Y). Aqui X é p.

Passo 4

Extrair o outro conjunto também por \wedge-elim:
3.\quad \neg p \quad (\wedge\text{-elim a partir de }1).
Explicação didática: análogo ao passo anterior, agora extraímos a segunda parte Y da conjunção X\wedge Y.

Passo 5

Obter uma contradição (símbolo \bot) a partir de p e \neg p:
4.\quad \bot \quad (\text{contradição de }2\text{ e }3).çã
Explicação didática: a fórmula \neg p significa, intuitivamente, que p leva à falsidade; ter simultaneamente p e \neg p é uma situação impossível — chamamos isso de contradição, representada por \bot. Em sistemas de dedução natural, de p e \neg p se inferem \bot.

Passo 6

Aplicar a regra do “ex falso quodlibet” (princípio da explosão): de uma contradição \bot pode-se inferir qualquer proposição q:
5.\quad q \quad (\text{explosão a partir de }4).ã
Explicação didática: a regra diz que se o sistema está em contradição (tem \bot), então qualquer fórmula pode ser derivada. Intuição informal: uma vez que se aceitou uma contradição, qualquer afirmação passa a ser deduzível (por isso contradições devem ser evitadas).

Passo 7

Descarregar a suposição inicial e concluir a implicação por introdução da implicação ( \Rightarrow-intro):
6.\quad p \wedge \neg p \Rightarrow q \quad (\Rightarrow\text{-intro, discharg. da suposição }1).çã
Explicação didática: como a partir da suposição p\wedge\neg p chegamos a q, podemos concluir que essa suposição implica q. Ou seja, provamos formalmente \,p \wedge \neg p \Rightarrow q\,.

Resposta

p \wedge \neg p \Rightarrow q

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