Simplifique a seguinte expressão: f(x)-f(a)x-a, x neq a, se:
a) f(x)=x^2, a=1
b) f(x)=x^3, a=-2
c) f(x)=x^2+x, a=-1
d) f(x)=1x, a=1
e) f(x)=2 x+1, a=2
f) f(x)=1x^2, a=2
g) f(x)=x^3+x, a=2

Passo 1

O enunciado pede para simplificar o quociente de diferença f(x)-f(a)x-a para várias funções e valores de a. Isso envolve substituir f(x) e f(a), fatorar e cancelar fatores comuns.

Passo 2

Para f(x)=x^2 e a=1, temos f(a)=1^2=1. Logo
f(x)-f(a)x-a=x^2-1x-1=(x-1)(x+1)x-1=x+1

Passo 3

Para f(x)=x^3 e a=-2, temos f(a)=(-2)^3=-8. Logo
f(x)-f(a)x-a=x^3-(-8)x-(-2)=x^3+8x+2=(x+2)(x^2-2x+4)x+2=x^2-2x+4

Passo 4

Para f(x)=x^2+x e a=-1, temos f(a)=(-1)^2+(-1)=1-1=0. Logo
f(x)-f(a)x-a=x^2+x-0x-(-1)=x(x+1)x+1=x

Passo 5

Para f(x)=tfrac1x e a=1, temos f(a)=1. Logo
f(x)-f(a)x-a=1x-1x-1=1-xxx-1=1-xx(x-1)=-x-1x(x-1)=-1x

Passo 6

Para f(x)=2x+1 e a=2, temos f(a)=2cdot2+1=5. Logo
f(x)-f(a)x-a=2x+1-5x-2=2x-4x-2=2

Passo 7

Para f(x)=tfrac1x^2 e a=2, temos f(a)=1/4. Logo
f(x)-f(a)x-a=1x^2-14x-2=4-x^24x^2x-2=-(x^2-4)4x^2(x-2)=-(x-2)(x+2)4x^2(x-2)=-x+24x^2

Passo 8

Para f(x)=x^3+x e a=2, temos f(a)=8+2=10. Dividindo o polinômio
f(x)-f(a)x-a=x^3+x-10x-2stackreldivisão=x^2+2x+5ã

Resposta

a) x+1; b) x^2-2x+4; c) x; d) -1/x; e) 2; f) -\frac{x+2}{4x^2}; g) x^2+2x+5

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