Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI:
Passo 1
O PVI é dado por y′=3x−√3y−1 com y(2)=1. O conteúdo aqui é o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf para equações diferenciais de 1ª ordem. Precisamos mostrar que f(x,y)=3x−√3y−1 e sua derivada parcial em relação a y são contínuas numa vizinhança de (2,1).
Passo 2
A função f(x,y)=3x−√3y−1 é um polinômio em x e y, logo é contínua para todo (x,y)∈ℝ². Portanto, satisfaz a condição de continuidade de f no teorema.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
Passo 4
que também é contínua em todo ℝ². Isso atende à condição de Lipschitz local em y exigida pelo teorema.
Passo 5
Como f e ∂f/∂y são contínuas numa vizinhança de (2,1), o Teorema de Picard–Lindelöf garante existência e unicidade da solução do PVI no entorno de x=2.
Resposta
O PVI possui solução única num intervalo em torno de x=2.