Verifique a unicidade ou não da solução dos seguintes PVI:
ld yd x=3 x-raiz3 y-1 y(2)=1

Passo 1

O PVI é dado por y′=3x−√3y−1 com y(2)=1. O conteúdo aqui é o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf para equações diferenciais de 1ª ordem. Precisamos mostrar que f(x,y)=3x−√3y−1 e sua derivada parcial em relação a y são contínuas numa vizinhança de (2,1).

Passo 2

A função f(x,y)=3x−√3y−1 é um polinômio em x e y, logo é contínua para todo (x,y)∈ℝ². Portanto, satisfaz a condição de continuidade de f no teorema.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y(x,y)=-raiz3,

Passo 4

que também é contínua em todo ℝ². Isso atende à condição de Lipschitz local em y exigida pelo teorema.

Passo 5

Como f e ∂f/∂y são contínuas numa vizinhança de (2,1), o Teorema de Picard–Lindelöf garante existência e unicidade da solução do PVI no entorno de x=2.

Resposta

O PVI possui solução única num intervalo em torno de x=2.

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