Simplifique as seguintes expressões usando a álgebra booleana. \mathrm{q}=\overline{\mathrm{RST}} \overline{(\mathrm{R}+\mathrm{S}+\mathrm{T})}
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão booleana dada. A expressão e as informações que temos são:
A expressão é \mathrm{q}=\overline{\mathrm{RST}}\\ \overline{(\mathrm{R}+\mathrm{S}+\mathrm{T})}.
Na notação usada: concatenação (como em \mathrm{RST}) significa AND, o símbolo + significa OR, e \overline{\cdot} é o complemento (NOT).
O objetivo é transformar essa expressão em uma forma mais simples, usando as leis da álgebra booleana.
Passo 2
Vou lembrar aqui algumas leis básicas e úteis da álgebra booleana (com explicação curta e amigável):
Leis de De Morgan:\overline{A B} = \overline{A} + \overline{B}, \qquad \overline{A + B} = \overline{A}\\ \overline{B}.Isto diz que o complemento de um AND vira OR dos complementos, e o complemento de um OR vira AND dos complementos.
Distributiva (uma forma que vamos usar):(X+Y)Z = XZ + YZ.
Idempotência e propriedades básicas:A A = A,\qquad A + A = A.Ou seja, duplicar um fator não altera o resultado.
Essas leis permitem transformar e simplificar expressões booleanas passo a passo.
Passo 3
Aplicar De Morgan ao primeiro termo \overline{\mathrm{RST}}. Aqui temos o complemento de um AND de três variáveis, então a regra se estende naturalmente:
Explicando: o complemento de \mathrm{R}\land\mathrm{S}\land\mathrm{T} é \neg\mathrm{R}\lor\neg\mathrm{S}\lor\neg\mathrm{T}.
Passo 4
Aplicar De Morgan ao segundo termo \overline{(\mathrm{R}+\mathrm{S}+\mathrm{T})}. O complemento de um OR de três variáveis vira o AND dos complementos:
Agora temos um produto entre uma soma e um produto; vamos simplificar isso usando distributiva e idempotência.
Passo 6
Para simplificar, observe que se chamarmos A=\overline{\mathrm{R}},\;B=\overline{\mathrm{S}},\;C=\overline{\mathrm{T}}, a expressão vira (A+B+C)(ABC).
Aplicando distributiva:
(A+B+C)ABC = ABC\cdot A + ABC\cdot B + ABC\cdot C.
Usando idempotência (A\cdot A = A, etc.), cada termo é igual a ABC:
ABC\cdot A = ABC,\qquad ABC\cdot B = ABC,\qquad ABC\cdot C = ABC.
Somando três cópias iguais e usando X+X+X = X (idempotência estendida), resulta
(A+B+C)ABC = ABC.
Voltando às variáveis originais, temos que a expressão simplifica para \overline{\mathrm{R}}\\ \overline{\mathrm{S}}\\ \overline{\mathrm{T}}.
Passo 7
Interpretação final: a expressão original, que era o produto entre \overline{\mathrm{RST}} e \overline{(\mathrm{R}+\mathrm{S}+\mathrm{T})}, reduz-se simplesmente ao produto dos complementos das três variáveis, ou seja, todas as três devem ser zero para a saída ser 1 — intuitivamente faz sentido: o segundo fator já exige \mathrm{R}=0,\mathrm{S}=0,\mathrm{T}=0, e o primeiro fator não elimina essa possibilidade.