Simplifique as seguintes expressões usando a álgebra booleana.
\mathrm{x}=\overline{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{B}} \overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}} \mathrm{BC}+\mathrm{ABC}+\mathrm{A} \overline{\mathrm{B}} \overline{\mathrm{C}}+\mathrm{A} \overline{\mathrm{B}} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá a expressão booleana a ser simplificada. Vou listar explicitamente os termos que aparecem (colhi estes termos do enunciado):
x=\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}\,B\,C+A\,B\,C+A\,\overline{B}\,\overline{C}+A\,\overline{B}\,C.
O pedido é simplificar essa expressão usando identidades da álgebra booleana, isto é, reduzir o número de termos/literais mantendo a mesma função lógica.

Passo 2

Vou olhar para pares de termos que compartilham fatores comuns e usar a identidade básica \overline{A}+A=1 (complemento) e a distributiva para agrupar. Observe os termos \overline{A}\,B\,C e A\,B\,C: ambos têm B\,C em comum. Fatore B\,C:
\overline{A}\,B\,C + A\,B\,C = B\,C\;(\overline{A}+A).
Pela identidade do complemento temos \overline{A}+A=1, logo
\overline{A}\,B\,C + A\,B\,C = B\,C.
Explicação rápida da regra usada: se duas minterms diferem apenas em uma variável que aparece negada em uma e não negada na outra, elas se combinam em um termo com essa variável eliminada (ex.: X\overline{Y}Z + XY Z = X Z) — é a mesma ideia.

Passo 3

Agora observe os termos \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} e A\,\overline{B}\,\overline{C}: ambos têm \overline{B}\,\overline{C} em comum. Fatore:
\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} + A\,\overline{B}\,\overline{C} = \overline{B}\,\overline{C}\;(\overline{A}+A).
De novo \overline{A}+A=1, então
\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C} + A\,\overline{B}\,\overline{C} = \overline{B}\,\overline{C}.

Passo 4

Substituindo os resultados dos passos anteriores na expressão original, obtemos:
x = \overline{B}\,\overline{C} + B\,C + A\,\overline{B}\,C.
Aqui eu substituí os pares por \overline{B}\,\overline{C} e B\,C respectivamente, ficando ainda o termo A\,\overline{B}\,C.

Passo 5

Agora agrupo os termos que têm C em comum: B\,C e A\,\overline{B}\,C. Faturo C:
B\,C + A\,\overline{B}\,C = C\,(B + A\,\overline{B}).
Explicação: fatorar um literal comum é a distributiva inversa, exatamente como em álgebra normal.

Passo 6

Simplifico a soma B + A\,\overline{B}. Uma forma prática é usar a identidade distributiva inversa:
B + A\,\overline{B} = (B + A)(B + \overline{B}).
Como B + \overline{B} = 1, isso vira (B + A)\cdot 1 = A + B. Portanto
B + A\,\overline{B} = A + B.
(Isto também pode ser visto como uma forma da lei de absorção: X + Y\overline{X} = X + Y.)

Passo 7

Substituindo de volta na fatoração do passo 5:
B\,C + A\,\overline{B}\,C = C\,(A + B).
Então a expressão total fica
x = \overline{B}\,\overline{C} + C\,(A + B).

Passo 8

Posso também escrever a forma expandida (soma de produtos) se for preferível:
x = \overline{B}\,\overline{C} + A\,C + B\,C.
As duas formas são equivalentes; a forma \overline{B}\,\overline{C} + C\,(A + B) é mais compacta.

Resposta

\overline{B}\,\overline{C} + C\,(A + B)

Exercícios relacionados