Simplifique as seguintes expressões usando a álgebra booleana.
\mathrm{y}=(\mathrm{Q}+\mathrm{R})(\overline{\mathrm{Q}}+\overline{\mathrm{R}})

Passo 1

O enunciado dá a expressão para simplificar:
y=(Q+R)(\overline{Q}+\overline{R}).
Pergunta: simplificar essa expressão usando álgebra booleana. As variáveis envolvidas são Q e R.

Passo 2

Rápido resumo das operações e identidades que vou usar (sem pressa):
  • O símbolo + é OR (ou lógico). Ex.: A+B vale 1 se A=1 ou B=1.
  • A justaposição AB ou \,A B é AND (e lógico). Ex.: AB vale 1 só se A=1 e B=1.
  • \overline{A} é NOT (complemento): \overline{A}=1 quando A=0, e vice-versa.
    Identidades importantes que vou usar:
  • Complemento: \;A\overline{A}=0 e \;A+\overline{A}=1.
  • Distributiva (para expandir produtos de somas):
(A+B)(C+D)=AC+AD+BC+BD.
Essas são as ferramentas básicas; vou expandir e eliminar termos que viram zero.

Passo 3

Aplicando a distributiva para expandir o produto:
y=(Q+R)(\overline{Q}+\overline{R})=Q\overline{Q}+Q\overline{R}+R\overline{Q}+R\overline{R}.

Passo 4

Usando a identidade do complemento ( A\overline{A}=0) nos termos Q\overline{Q} e R\overline{R}:
Q\overline{Q}=0,\qquad R\overline{R}=0.
Portanto sobra
y=Q\overline{R}+R\overline{Q}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida: a forma Q\overline{R}+\overline{Q}R é a expressão padrão do OU-EXCLUSIVO (XOR). Isso significa que y=1 quando Q e R são diferentes e y=0 quando são iguais. Conferindo os quatro casos:
\begin{aligned} Q=0,\;R=0 &\Rightarrow (0+0)(1+1)=0\cdot1=0,\\\ Q=0,\;R=1 &\Rightarrow (0+1)(1+0)=1\cdot1=1,\\\ Q=1,\;R=0 &\Rightarrow (1+0)(0+1)=1\cdot1=1,\\\ Q=1,\;R=1 &\Rightarrow (1+1)(0+0)=1\cdot0=0. \end{aligned}
Esses resultados batem com Q\overline{R}+\overline{Q}R.

Resposta

y=Q\overline{R}+\overline{Q}R

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