Simplifique as seguintes expressões usando equivalências lógicas:
\neg(\neg p \vee q) \wedge q

Passo 1

O enunciado dá a expressão lógica
\neg(\neg p \vee q) \wedge q
e pede que a simplifiquemos usando equivalências lógicas.
Informações relevantes: a expressão é uma conjunção entre a negação de uma disjunção e a proposição q. Não há outras condições sobre p e q.

Passo 2

Aplicamos a Lei de De Morgan. Vou lembrar a forma geral dessa lei e o que cada símbolo significa:
\neg(A \vee B) \equiv \neg A \wedge \neg B,
onde A e B são proposições quaisquer, \vee é “ou”, \wedge é “e”, e \neg é negação. A lei diz: a negação de um “ou” é o “e” das negações.
Aplicando com A = \neg p e B = q, obtemos
\neg(\neg p \vee q) \equiv \neg(\neg p) \wedge \neg q.

Passo 3

Agora tratamos \neg(\neg p). Existe a regra da dupla negação:
\neg(\neg X) \equiv X,
ou seja, negar duas vezes devolve a proposição original. Aplicando com X=p,
\neg(\neg p) \equiv p.
Substituindo no resultado do Passo 2, a expressão passa a ser
(p \wedge \neg q) \wedge q.

Passo 4

Usamos associatividade e comutatividade da conjunção para reagrupar os fatores de modo conveniente. Concretamente, podemos escrever
(p \wedge \neg q) \wedge q \equiv p \wedge (\neg q \wedge q).
Isso é apenas rearranjar os termos; p fica “do lado de fora” e juntamos \neg q com q.

Passo 5

Observamos o subfato \neg q \wedge q. Existe a equivalência chamada contradição:
X \wedge \neg X \equiv \bot,
onde \bot representa a proposição sempre falsa. A razão é direta: uma proposição e sua negação não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Portanto
\neg q \wedge q \equiv \bot.

Passo 6

Substituindo no passo anterior, obtemos
p \wedge (\neg q \wedge q) \equiv p \wedge \bot.
Agora usamos a propriedade absorvente do \bot: para qualquer proposição X,
X \wedge \bot \equiv \bot,
pois “falso” torna toda conjunção falsa. Assim
p \wedge \bot \equiv \bot.

Passo 7

Concluímos que a expressão original simplifica-se à proposição sempre falsa. Como verificação rápida (opcional): podemos checar os quatro casos de verdade de (p,q):
  • Se q é falso, então a conjunção final com q já mata tudo; se q é verdadeiro, então \neg(\neg p\vee q) será falso porque q verdadeiro torna \neg(\neg p\vee q) falso. Em todos os casos a expressão vale falso — consistente com \bot.

Resposta

\bot

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