Simplifique as seguintes expressões usando equivalências lógicas:
Passo 1
O enunciado dá a expressão lógica
e pede que a simplifiquemos usando equivalências lógicas.
Informações relevantes: a expressão é uma conjunção entre a negação de uma disjunção e a proposição . Não há outras condições sobre
e
.
Informações relevantes: a expressão é uma conjunção entre a negação de uma disjunção e a proposição
Passo 2
Aplicamos a Lei de De Morgan. Vou lembrar a forma geral dessa lei e o que cada símbolo significa:
onde
e
são proposições quaisquer,
é “ou”,
é “e”, e
é negação. A lei diz: a negação de um “ou” é o “e” das negações.
Aplicando com e
, obtemos
Aplicando com
Passo 3
Agora tratamos
. Existe a regra da dupla negação:
ou seja, negar duas vezes devolve a proposição original. Aplicando com
,
Substituindo no resultado do Passo 2, a expressão passa a ser
Passo 4
Usamos associatividade e comutatividade da conjunção para reagrupar os fatores de modo conveniente. Concretamente, podemos escrever
Isso é apenas rearranjar os termos;
fica “do lado de fora” e juntamos
com
.
Passo 5
Observamos o subfato
. Existe a equivalência chamada contradição:
onde
representa a proposição sempre falsa. A razão é direta: uma proposição e sua negação não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo. Portanto
Passo 6
Substituindo no passo anterior, obtemos
Agora usamos a propriedade absorvente do
: para qualquer proposição
,
pois “falso” torna toda conjunção falsa. Assim
Passo 7
Concluímos que a expressão original simplifica-se à proposição sempre falsa. Como verificação rápida (opcional): podemos checar os quatro casos de verdade de
:
- Se
é falso, então a conjunção final com já mata tudo; se é verdadeiro, então será falso porque verdadeiro torna falso. Em todos os casos a expressão vale falso — consistente com .