Simplifique as seguintes expressões usando equivalências lógicas:
(p \wedge q) \vee(\neg p \wedge q)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão lógica usando equivalências. A expressão dada é (p \wedge q) \vee (\neg p \wedge q).\n
Informações fornecidas:
\text{Expressão: } (p \wedge q) \vee (\neg p \wedge q).ã
Objetivo: encontrar uma forma lógica equivalente mais simples dessa expressão, passo a passo, usando leis/identidades lógicas.

Passo 2

Primeiro passo técnico: observar que em cada conjunção o termo q aparece junto com algo que envolve p. Podemos usar a comutatividade da conjunção, que diz que
a \wedge b = b \wedge a
para quaisquer proposições a e b. Aplicando isso a cada termo temos
(p \wedge q) = (q \wedge p) \quad\text{e}\quad (\neg p \wedge q) = (q \wedge \neg p).
Portanto a expressão pode ser reescrita como
(q \wedge p) \vee (q \wedge \neg p).
Explicação curta da lei: a comutatividade apenas troca a ordem dos fatores em uma conjunção, sem mudar o valor lógico; é análogo a 2\cdot3 = 3\cdot2.

Passo 3

Agora usamos a lei distributiva. A forma relevante é
a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c).
Aqui queremos o inverso: fatorar q em comum nas duas conjunções. Identificando a=q, b=p e c=\neg p, a igualdade anterior implica
(q \wedge p) \vee (q \wedge \neg p) = q \wedge (p \vee \neg p).
Então a expressão ficou
q \wedge (p \vee \neg p).
Intuição: é como em álgebra distribuir um fator comum, por exemplo xy + xz = x(y+z).

Passo 4

Agora aplicamos a lei do terceiro excluído (ou lei do complemento), que afirma que para qualquer proposição p vale
p \vee \neg p = \top,
onde \top representa a proposição tautologicamente verdadeira (sempre verdadeira). Podemos ver rápido por tabela: se p é verdadeira, p\vee\neg p é verdadeira; se p é falsa, \neg p é verdadeira, logo p\vee\neg p é verdadeira também. Assim substituímos:
q \wedge (p \vee \neg p) = q \wedge \top.

Passo 5

Finalmente usamos a lei identidade da conjunção, que diz que
a \wedge \top = a
para qualquer proposição a. Aplicando com a=q obtemos
q \wedge \top = q.
Portanto a expressão inicial é logicamente equivalente a q.

Passo 6

Como verificação rápida (opcional) por tabela verdade: as quatro linhas possíveis dão o mesmo valor para (p \wedge q) \vee (\neg p \wedge q) e para q:
\begin{array}{c c | c | c} p & q & (p\wedge q)\vee(\neg p\wedge q) & q\\\ \hline \text{V} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{V} & \text{F} & \text{F} & \text{F}\\\ \text{F} & \text{V} & \text{V} & \text{V}\\\ \text{F} & \text{F} & \text{F} & \text{F} \end{array}
Isso confirma a equivalência.

Resposta

q

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