Simplifique as seguintes frações algébricas:
Passo 1
O que o exercício pede: simplificar a fração algébrica
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. A tarefa é escrever essa fração numa forma mais simples, cancelando fatores comuns quando possível. Não vamos resolver nada ainda, só identificamos o que temos.
Passo 2
Fatorar o numerador
. Existe uma identidade útil chamada diferença de cubos:
Aqui podemos aplicar com
e
. Substituindo:
Explicando: o primeiro fator é a diferença
e o segundo é sempre a soma quadrática
.
Passo 3
Fatorar o denominador
. Procuramos dois números cujo produto seja o termo constante
e cuja soma seja o coeficiente de
, isto é
. Os números são
e
porque
e
. Assim:
Observação do procedimento: escrever
como
e agrupar também dá o mesmo resultado.
Passo 4
Reescrever a fração usando as fatorações encontradas:
Agora vemos o fator comum
no numerador e no denominador. Podemos simplificar cancelando esse fator, desde que ele não seja zero (explico isso no próximo passo). Após cancelar:
Passo 5
Condição para cancelar: só podemos cancelar
se
, ou seja, se
. Além disso, originalmente o denominador não pode ser zero, então precisamos excluir também
. Portanto a simplificação é válida para todos os
tais que
e
. Nota adicional: em
a expressão original dá
(indeterminação), indicando uma descontinuidade removível; mas continua indefinida naquele ponto.
Passo 6
Concluímos que a forma simplificada da fração é
, com as restrições de que
e
.