Simplifique as seguintes frações algébricas:
\frac{a^{3}-1}{a^{2}+2 a-3}=

Passo 1

O que o exercício pede: simplificar a fração algébrica
\frac{a^{3}-1}{a^{2}+2a-3}.
Informações dadas: o numerador é a^{3}-1 e o denominador é a^{2}+2a-3. A tarefa é escrever essa fração numa forma mais simples, cancelando fatores comuns quando possível. Não vamos resolver nada ainda, só identificamos o que temos.

Passo 2

Fatorar o numerador a^{3}-1. Existe uma identidade útil chamada diferença de cubos:
x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2}).
Aqui podemos aplicar com x=a e y=1. Substituindo:
a^{3}-1=(a-1)(a^{2}+a\cdot 1+1^{2})=(a-1)(a^{2}+a+1).
Explicando: o primeiro fator é a diferença a-1 e o segundo é sempre a soma quadrática a^{2}+a+1.

Passo 3

Fatorar o denominador a^{2}+2a-3. Procuramos dois números cujo produto seja o termo constante -3 e cuja soma seja o coeficiente de a, isto é 2. Os números são 3 e -1 porque 3\cdot(-1)=-3 e 3+(-1)=2. Assim:
a^{2}+2a-3=(a+3)(a-1).
Observação do procedimento: escrever a^{2}+2a-3 como a^{2}+3a-a-3 e agrupar também dá o mesmo resultado.

Passo 4

Reescrever a fração usando as fatorações encontradas:
\frac{a^{3}-1}{a^{2}+2a-3}=\frac{(a-1)(a^{2}+a+1)}{(a-1)(a+3)}.
Agora vemos o fator comum (a-1) no numerador e no denominador. Podemos simplificar cancelando esse fator, desde que ele não seja zero (explico isso no próximo passo). Após cancelar:
\frac{(a-1)(a^{2}+a+1)}{(a-1)(a+3)}=\frac{a^{2}+a+1}{a+3}\quad\text{(quando permitido cancelar)}.

Passo 5

Condição para cancelar: só podemos cancelar (a-1) se a-1\neq 0, ou seja, se a\neq 1. Além disso, originalmente o denominador não pode ser zero, então precisamos excluir também a=-3. Portanto a simplificação é válida para todos os a tais que a\neq 1 e a\neq -3. Nota adicional: em a=1 a expressão original dá 0/0 (indeterminação), indicando uma descontinuidade removível; mas continua indefinida naquele ponto.

Passo 6

Concluímos que a forma simplificada da fração é \dfrac{a^{2}+a+1}{a+3}, com as restrições de que a\neq 1 e a\neq -3.

Resposta

\dfrac{a^{2}+a+1}{a+3} com a\neq 1,\\\ -3

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