Simplifique as seguintes frações algébricas:
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a fração algébrica
.
Informações dadas: o numerador é o polinômio e o denominador é o polinômio
.
Objetivo: escrever a fração numa forma mais simples (fatorar e cancelar fatores comuns), lembrando das restrições em que podem surgir.
Informações dadas: o numerador é o polinômio
Objetivo: escrever a fração numa forma mais simples (fatorar e cancelar fatores comuns), lembrando das restrições em
Passo 2
Princípio de fatoração que vamos usar (explicação didática): para um trinômio quadrático na forma
procuramos dois números
e
tais que
Se existirem tais
e
, então
Aqui as variáveis significam:
é o coeficiente de
e
é o termo constante. Essa é a técnica chamada “fatoração por soma e produto”. Outra observação útil: se os dois números são iguais (
), o trinômio é um quadrado perfeito e se escreve
.
Passo 3
Fatorando o numerador
passo a passo: precisamos de
e
tais que
Os números que funcionam são
e
, pois
e
. Logo
Passo 4
Fatorando o denominador
passo a passo: procuramos
e
tais que
Os números que funcionam são
e
, porque
e
. Assim
Passo 5
Reescrevendo a fração com os fatores obtidos:
Agora vemos um fator comum
no numerador e no denominador. Regra de cancelamento: podemos cancelar um fator multiplicativo comum desde que ele não seja zero (ou seja, desde que
não faça esse fator valer zero). Portanto, cancelando um
,
mas temos que lembrar as restrições que vêm do denominador original: o denominador original zera em
e
, então a igualdade acima vale apenas para
e
. (Em
o numerador também zera, então havia uma descontinuidade removível; em
a fração original é indefinida.)
Passo 6
Resumo final do raciocínio: fatoramos numerador e denominador, cancelamos o fator comum
levando em conta que não podemos dividir por zero, e obtemos a forma simplificada válida para os
permitidos.