Simplifique as seguintes frações algébricas:
\frac{x^{2}-6 x+9}{x^{2}-4 x+3}=

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a fração algébrica
\dfrac{x^{2}-6x+9}{x^{2}-4x+3}.
Informações dadas: o numerador é o polinômio \,x^{2}-6x+9\, e o denominador é o polinômio \,x^{2}-4x+3\,.
Objetivo: escrever a fração numa forma mais simples (fatorar e cancelar fatores comuns), lembrando das restrições em x que podem surgir.

Passo 2

Princípio de fatoração que vamos usar (explicação didática): para um trinômio quadrático na forma \,x^{2}+bx+c\, procuramos dois números r e s tais que
r+s=b\qquad\text{e}\qquad r\cdot s=c.
Se existirem tais r e s, então
x^{2}+bx+c=(x+r)(x+s).
Aqui as variáveis significam: b é o coeficiente de x e c é o termo constante. Essa é a técnica chamada “fatoração por soma e produto”. Outra observação útil: se os dois números são iguais ( r=s), o trinômio é um quadrado perfeito e se escreve (x+r)^2.

Passo 3

Fatorando o numerador \,x^{2}-6x+9\, passo a passo: precisamos de r e s tais que
r+s=-6\qquad\text{e}\qquad r\cdot s=9.
Os números que funcionam são r=-3 e s=-3, pois -3+(-3)=-6 e (-3)\cdot(-3)=9. Logo
x^{2}-6x+9=(x-3)(x-3)=(x-3)^{2}.

Passo 4

Fatorando o denominador \,x^{2}-4x+3\, passo a passo: procuramos r e s tais que
r+s=-4\qquad\text{e}\qquad r\cdot s=3.
Os números que funcionam são r=-1 e s=-3, porque -1+(-3)=-4 e (-1)\cdot(-3)=3. Assim
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).

Passo 5

Reescrevendo a fração com os fatores obtidos:
\frac{x^{2}-6x+9}{x^{2}-4x+3}=\frac{(x-3)^{2}}{(x-1)(x-3)}.
Agora vemos um fator comum (x-3) no numerador e no denominador. Regra de cancelamento: podemos cancelar um fator multiplicativo comum desde que ele não seja zero (ou seja, desde que x não faça esse fator valer zero). Portanto, cancelando um (x-3),
\frac{(x-3)^{2}}{(x-1)(x-3)}=\frac{x-3}{x-1},
mas temos que lembrar as restrições que vêm do denominador original: o denominador original zera em x=1 e x=3, então a igualdade acima vale apenas para x\neq1 e x\neq3. (Em x=3 o numerador também zera, então havia uma descontinuidade removível; em x=1 a fração original é indefinida.)

Passo 6

Resumo final do raciocínio: fatoramos numerador e denominador, cancelamos o fator comum (x-3) levando em conta que não podemos dividir por zero, e obtemos a forma simplificada válida para os x permitidos.

Resposta

\dfrac{x-3}{x-1},\\ x\neq1,3

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