Escreva a expressão na forma p(x)q(x), na qual p(x) (e q(x) ?) são polinômios.
(g) raiz[3]x^3+x-raiz[3]x^3+1

Passo 1

O enunciado pede para escrever
raiz[3]x^3+x-raiz[3]x^3+1
na forma p(x)q(x), usando polinômios p e q. Para isso vamos aplicar a identidade de diferença de cubos:
a - b = a^3 - b^3a^2 + a b + b^2

Passo 2

Definimos
a = raiz[3]x^3 + x, b = raiz[3]x^3 + 1
Então
a - b = raiz[3]x^3 + x ;-;raiz[3]x^3 + 1

Passo 3

Calculamos o numerador da identidade:
a^3 - b^3 = (x^3 + x);-;(x^3 + 1) = x - 1

Passo 4

Pelo fórmula de diferença de cubos obtém-se
raiz[3]x^3+x-raiz[3]x^3+1 = a^3 - b^3a^2 + ab + b^2 = x - 1a^2 + a,b + b^2

Passo 5

Só falta escrever a^2, ab e b^2 em termos de x:
a^2 = (x^3 + x)^2/3, ab = (x^3 + x)^1/3(x^3 + 1)^1/3, b^2 = (x^3 + 1)^2/3
Assim a expressão fica
raiz[3]x^3+x-raiz[3]x^3+1 = x - 1 (x^3 + x)^2/3 ;+;(x^3 + x)^1/3(x^3 + 1)^1/3;+;(x^3 + 1)^2/3

Passo 6

Comparando com p(x)q(x), temos
p(x) = x - 1,
que é polinômio, e
q(x) = (x^3 + x)^2/3 + (x^3 + x)^1/3(x^3 + 1)^1/3 + (x^3 + 1)^2/3,
que não é polinômio (pois contém expoentes fracionários).

Resposta

raiz[3]x^3+x-raiz[3]x^3+1 = x - 1 (x^3 + x)^2/3 + (x^3 + x)^1/3(x^3 + 1)^1/3 + (x^3 + 1)^2/3,
onde p(x)=x-1 (polinômio) e q(x) não é polinômio.

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