Num simulador de ondas, a prancha (com surfista) tem massa m=65 \mathrm{~kg} a passarela inclinada tem 15^{\circ} .0 coeficiente de atrito entre a prancha e a passarela é \mu=0,04. Calcule aceleração e a força perpendicular à prancha.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados: massa da prancha com surfista m=65\\ \mathrm{kg}, inclinação da passarela \theta=15^\circ, coeficiente de atrito \mu=0,04.
  • Pedidos: (1) calcular a aceleração da prancha ao descer a rampa; (2) calcular a força perpendicular à prancha (força normal).
    Estas são as informações relevantes que usaremos nos passos seguintes.

Passo 2

Vou assumir que a prancha está deslizando para baixo da rampa, ou seja, o atrito a considerar é o atrito cinético cujo módulo é f=\mu N, onde N é a força normal. Também uso a aceleração da gravidade g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Agora vamos identificar e decompor as forças que atuam na prancha.

Passo 3

Forças que atuam (descrição e sentido):
  • Peso: força gravitacional para baixo com módulo \,mg.
  • Força normal: N, perpendicular à superfície da rampa, empurrando a prancha para fora da rampa.
  • Força de atrito cinético: f, tangente à rampa, apontando contra o movimento (ou seja, para cima da rampa se a prancha desce).
Para trabalhar com essas forças é conveniente decompor o peso em duas componentes relativas ao plano inclinado:
  • Componente do peso paralela ao plano: \,mg\sin\theta (aponta para baixo da rampa).
  • Componente do peso perpendicular ao plano: \,mg\cos\theta (aponta para dentro da rampa).
Estas expressões vêm da trigonometria em um triângulo retângulo formado pela decomposição do vetor peso: o ângulo entre o peso vertical e a normal ao plano é \theta, daí os fatores \sin\theta e \cos\theta.

Passo 4

Usando o equilíbrio perpendicular ao plano (não há aceleração nessa direção), somatório das forças perpendiculares deve ser zero:
N - mg\cos\theta = 0.
Portanto a fórmula para a força normal é
N = mg\cos\theta.
Agora substituímos m=65\\ \mathrm{kg}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} e \theta=15^\circ. Primeiro calculamos \cos 15^\circ:
\cos 15^\circ \approx 0,965925826.
Logo
N = 65\cdot 9,8 \cdot 0,965925826.
Vou manter a conta detalhada: 65\cdot 9,8 = 637, então
N = 637 \cdot 0,965925826 \approx 615{,}3\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calculemos a força de atrito (módulo), que é
f = \mu N.
Com \mu=0,04 e N\approx 615{,}3\\ \mathrm{N},
f \approx 0{,}04 \times 615{,}3 \approx 24{,}61\\ \mathrm{N}.
Esse valor aponta para cima ao longo do plano (opondo-se ao deslizamento).

Passo 6

Agora a equação do movimento ao longo da direção paralela ao plano (eixo positivo apontando para baixo da rampa). A força resultante paralela é:
F_{\text{res}} = mg\sin\theta - f.
A aceleração segue da 2ª lei de Newton:
a = \frac{F_{\text{res}}}{m} = \frac{mg\sin\theta - f}{m}.
Podemos substituir f=\mu N e N=mg\cos\theta para obter uma forma direta:
a = g\sin\theta - \mu g\cos\theta = g\bigl(\sin\theta - \mu\cos\theta\bigr).
Essa fórmula é útil porque elimina m (a aceleração independe da massa, na ausência de outras forças dependentes de m).

Passo 7

Agora plugamos valores numéricos. Primeiro calcule \sin 15^\circ e \cos 15^\circ:
\sin 15^\circ \approx 0{,}258819045,\qquad \cos 15^\circ \approx 0{,}965925826.
Então
\sin\theta - \mu\cos\theta \approx 0{,}258819045 - 0{,}04\cdot 0{,}965925826.
Calcule o termo do atrito:
0{,}04\cdot 0{,}965925826 \approx 0{,}038637033.
Subtraindo:
0{,}258819045 - 0{,}038637033 \approx 0{,}220182012.
Multiplicando por g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
a \approx 9{,}8 \times 0{,}220182012 \approx 2{,}16\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Assim, a aceleração tem módulo aproximadamente 2{,}16\\ \mathrm{m/s^{2}} e está dirigida para baixo ao longo do plano inclinado.

Resposta

Aceleração: 2{,}16\\ \mathrm{m/s^{2}} (descendo o plano)
Força perpendicular (normal): 615{,}3\\ \mathrm{N}

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