Um tobogã seco com ângulo de 38^{\circ} recebe um cilindro inflável com uma pessoa; a massa combinada é \mathrm{m}=45 \mathrm{~kg} .0 atrito efetivo entre o inflável e a superfície é \mu=0,12. Determine os componentes do peso e aceleração.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • Massa combinada: m=45,0\\ \mathrm{kg}.
    • Ângulo do tobogã: \theta=38^\circ.
    • Coeficiente de atrito efetivo: \mu=0,12.
    • Usaremos a aceleração da gravidade g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
  • Perguntas:
    • Quais são os componentes do peso (componente paralelo à rampa e componente perpendicular à rampa)?
    • Qual é a aceleração do cilindro + pessoa ao descer o tobogã (considerando o atrito dado)?

Passo 2

Entendendo o peso e sua decomposição: o peso é a força gravitacional que vale \:mg\:, onde
m
é a massa e
g
é a aceleração da gravidade. No caso:
W = m g.
Aqui cada símbolo significa:
  • W = módulo do peso (em newtons, \mathrm{N}),
  • m = massa (em \mathrm{kg}),
  • g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
Calculando o peso total:
W = 45,0 \times 9,8 = 441\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Como obter os componentes do peso: ao inclinar um plano por um ângulo \theta, o peso W se decompõe em duas componentes:
  • componente paralelo à rampa (no sentido que tende a fazer descer): \:W_{\parallel} = W \sin\theta\:,
  • componente perpendicular à rampa (que é suportada pela superfície): \:W_{\perp} = W \cos\theta\:.
Explicando as fórmulas:
  • \sin\theta e \cos\theta são razões trigonométricas do ângulo \theta; elas projetam o vetor peso nas direções paralela e perpendicular.
  • O produto W\sin\theta pega a “parte” de W que fica ao longo da rampa; W\cos\theta pega a parte que empurra contra a rampa.

Passo 4

Agora calculamos numericamente os componentes usando \theta=38^\circ e W=441\\ \mathrm{N}.
Primeiro calculemos \sin 38^\circ e \cos 38^\circ (valores aproximados):
\sin 38^\circ \approx 0,6157,\qquad \cos 38^\circ \approx 0,7880.
Aplicando:
W_{\parallel} = 441 \times 0,6157 \approx 271,3\\ \mathrm{N},
W_{\perp} = 441 \times 0,7880 \approx 347,5\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Força normal e força de atrito: a superfície exerce uma força normal N que, na ausência de outras forças verticais além do peso, equilibra exatamente a componente perpendicular do peso. Logo:
N = W_{\perp}.
A força de atrito cinético (ou efetivo) tem módulo
F_{\text{atrito}} = \mu N = \mu W_{\perp},
e age no sentido contrário ao movimento (ou seja, para cima da rampa se o cilindro desce).
Calculando F_{\text{atrito}}:
F_{\text{atrito}} = 0,12 \times 347,5 \approx 41,7\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Força resultante ao longo da rampa e aceleração: na direção paralela à rampa, as forças relevantes são W_{\parallel} (apontando para baixo) e F_{\text{atrito}} (apontando para cima). A força resultante é
F_{\text{res}} = W_{\parallel} - F_{\text{atrito}}.
Pela segunda lei de Newton:
F_{\text{res}} = m a,
onde a é a aceleração ao longo da rampa. Assim:
a = \frac{F_{\text{res}}}{m} = \frac{W_{\parallel} - F_{\text{atrito}}}{m}.

Passo 7

Substituindo os valores numéricos:
F_{\text{res}} \approx 271,3 - 41,7 = 229,6\\ \mathrm{N},
a = \frac{229,6}{45,0} \approx 5,10\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação rápida: o cilindro acelera para baixo com cerca de 5,10\\ \mathrm{m/s^2}, ou seja, um pouco mais da metade da gravidade devido ao efeito do atrito e da inclinação.

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (pra animar): memorize as fórmulas básicas
W=mg,\quad W_{\parallel}=mg\sin\theta,\quad W_{\perp}=mg\cos\theta,\quad F_{\text{atrito}}=\mu N,
e use o sinal de direção com cuidado (sempre verifique qual força aponta para cima/baixo da rampa). Com esses passos você resolve rapidamente esse tipo de questão — você consegue!

Resposta

W_{\parallel}=271,3\\ \mathrm{N}
W_{\perp}=347,5\\ \mathrm{N}
a=5,10\\ \mathrm{m/s^2}

Exercícios relacionados