A single-slit diffraction pattern is formed using monochromatic laser light that has a wavelength of 450 nm . What happens to the distance between the first maximum and the central maximum as the slit is made narrower? (a) The distance increases. (b) The distance decreases. (c) The distance remains the same.
Passo 1
O enunciado pede: “O que acontece com a distância entre o primeiro máximo e o máximo central quando a fenda é estreitada?” Dados fornecidos:
- Comprimento de onda da luz:
(peguei do enunciado). - Configuração: difração por uma única fenda (single-slit).
- A variável que muda é a largura da fenda, que é feita menor (ou seja, \emph{a} diminui).
O que a pergunta quer é saber se a distância (no ecrã) entre o máximo central e o primeiro máximo lateral aumenta, diminui ou fica igual quando a largura da fenda diminui.
Passo 2
Vamos apresentar a teoria básica que descreve o padrão de difração por uma fenda única e definir as variáveis que usaremos.
- Denotar por
a largura da fenda. - Denotar por
o ângulo medido a partir da direção central (normal à fenda) até um ponto do padrão na tela. - Denotar por
a distância da fenda até a tela (assumimos fixa). - Denotar por
a distância linear no ecrã do centro até um ponto correspondente a um ângulo ; para ângulos pequenos vale .
A intensidade do padrão de difração de uma fenda de largura
é dada (normalizada) pela forma
onde
Explicando:
é uma variável adimensional que combina a largura da fenda
, o comprimento de onda
e o ângulo
.
Passo 3
Posições das mínimas e máximas (ideias essenciais):
- As mínimas (zeros) do padrão ocorrem quando
e . Isso dá a condição
A primeira mínima (mais próxima do centro) corresponde a
, ou seja
Para ângulos pequenos pode-se usar a aproximação
(em radianos), então
- Os máximos secundários (como o “primeiro máximo lateral”) não têm condição tão simples quanto as mínimas, mas seus ângulos satisfazem a equação
com soluções não nulas que ficam entre as mínimas. A primeira solução positiva não nula depois de
é aproximadamente
Isso é um valor numérico obtido resolvendo
; não é preciso derivar aqui, basta saber que é um número fixo.
Passo 4
Com
conhecido, a posição angular do primeiro máximo lateral vem de
logo
Usando a aproximação de pequenos ângulos
, obtemos
Note que
é um número fixo:
. Assim, em forma simples
Conclusão importante desta fórmula:
é proporcional a
. Se
diminui,
aumenta.
Passo 5
Passando da posição angular para a posição linear na tela: para
fixo e ângulos pequenos
Ou seja, a distância no ecrã entre o máximo central (em
) e o primeiro máximo lateral é proporcional a
. Portanto, ao estreitar a fenda (
diminui), a distância
aumenta.
Passo 6
Intuição física curta e motivadora: fendas mais estreitas espalham a luz em ângulos maiores (a difração fica mais pronunciada). Logo os máximos e mínimos ficam mais afastados do centro quando a fenda é mais estreita.
Resposta
(a) The distance increases.