A two-slit interference pattern is formed using two different monochromatic lasers, one green and one red. Which color light has its first maximum closer to the central maximum? (a) green, (b) red, (c) Both maxima are at the same location.

Passo 1

O enunciado diz que um padrão de interferência de duas fendas é formado usando duas fontes monocromáticas diferentes: uma verde e uma vermelha. A pergunta é: qual cor tem seu primeiro máximo mais próximo do máximo central? As informações relevantes que temos (implícitas no problema) são:
  • Há duas fendas separadas por uma distância d.
  • A tela onde aparece o padrão está a uma distância D das fendas.
  • Consideramos o primeiro máximo (ordem m=1) em relação ao máximo central.
  • As duas fontes têm comprimentos de onda diferentes: \lambda_{\text{verde}}<\lambda_{\text{vermelho}} (luz verde tem comprimento de onda menor que luz vermelha).

Passo 2

Explicação do princípio físico e da condição de interferência construtiva: para duas fendas em regime de ondas coerentes, a diferença de caminho entre ondas vindas das duas fendas é \Delta = d\sin\theta, onde \theta é o ângulo medido a partir da direção central até o máximo. A condição para máximos (interferência construtiva) é
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é a separação entre as fendas,
  • \theta é o ângulo do máximo em relação ao centro,
  • m é a ordem do máximo ( m=0 central, m=1 primeiro máximo, etc.),
  • \lambda é o comprimento de onda da luz.
    Aqui aprenda: essa fórmula vem da ideia de que, para que as duas ondas reforcem, a diferença de caminho deve ser um número inteiro de comprimentos de onda.

Passo 3

Como normalmente a tela está muito mais longe que a separação das fendas ( D\gg d), os ângulos \theta dos máximos são pequenos. Para ângulos pequenos usamos a aproximação de pequeno ângulo:
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta\quad(\text{em radianos}).
A posição vertical y do máximo na tela está relacionada por y = D\tan\theta. Usando as aproximações,
y \approx D\sin\theta.
Substituindo a condição de máximos obtemos a fórmula prática para a posição do m-ésimo máximo:
y_m = \dfrac{m\lambda D}{d}.
Aqui aprenda: cada símbolo representa
  • y_m: distância do máximo m até o centro na tela,
  • m: ordem do máximo,
  • \lambda: comprimento de onda,
  • D: distância fendas-tela,
  • d: separação entre fendas.
    Observe que y_m é diretamente proporcional a \lambda.

Passo 4

Aplicando para o primeiro máximo ( m=1):
y_1 = \dfrac{\lambda D}{d}.
Como D e d são as mesmas para os dois lasers no mesmo arranjo experimental, a única diferença entre as posições do primeiro máximo para as duas cores vem do \lambda. Portanto y_1 cresce quando \lambda cresce. Conclusão qualitativa: a cor com menor comprimento de onda terá o primeiro máximo mais próximo do máximo central.

Passo 5

Relação direta entre as cores: como a luz verde tem \lambda_{\text{verde}}<\lambda_{\text{vermelho}}, segue que
y_{1,\text{verde}} = \dfrac{\lambda_{\text{verde}} D}{d} < \dfrac{\lambda_{\text{vermelho}} D}{d} = y_{1,\text{vermelho}}.
Isto mostra matematicamente que o primeiro máximo da luz verde fica mais perto do centro que o da luz vermelha. (Se quiser um exemplo numérico: com \lambda_{\text{verde}}\approx532\\ \text{nm} e \lambda_{\text{vermelho}}\approx650\\ \text{nm}, o máximo verde estaria a cerca de 532/650\approx0,82 vezes a distância do máximo vermelho.)

Passo 6

Resumo didático e dica para prova: memorize a condição d\sin\theta = m\lambda e a forma aproximada y_m = m\lambda D/d. Para comparar posições de máximos entre duas cores em mesmo arranjo, basta comparar os comprimentos de onda: menor \lambda → menor y_m → mais próximo do centro. Respire fundo: é uma conta simples de proporção quando você decorar a fórmula!

Resposta

(a) green

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