Um sistema com 11 kg passa por um processo no qual 319 kJ de calor é transferido do sistema para a vizinhança. A energia interna específica do sistema diminui 26 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}. Assuma que: - a aceleração da gravidade é constante e igual a 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. - o calor recebido pelo sistema tem sinal positivo e o calor rejeitado pelo sistema tem sinal negativo. - o trabalho recebido pelo sistema tem sinal positivo e o trabalho feito pelo sistema tem sinal negativo. Nas respostas dos próximos itens, insira o valor do trabalho utilizando sinal positivo ou negativo, de acordo com a convenção de sinais adotada para o sistema neste exercício. A variação de volume e de temperatura deve ser considerada negativa quando decrescer e positiva, quando crescer.
(25%) Assumindo que a velocidade do sistema varia de 32 a 64 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e que a altura do sistema permanece 135 m durante o processo, o trabalho que ocorre neste processo é \square kJ e o volume final do sistema é \square vezes o volume inicial se a pressão é inversamente proporcional ao volume, e quando a pressão é 410 kPa , o volume do sistema é 2504.4 L.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Massa do sistema: \,m=11\\ \mathrm{kg}.
  • Calor transferido do sistema para a vizinhança: 319\\ \mathrm{kJ} (portanto calor recebido pelo sistema é negativo).
  • Variação da energia interna específica: \Delta u=-26\\ \mathrm{kJ/kg} (diminui).
  • Velocidade inicial: \,v_1=32\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade final: \,v_2=64\\ \mathrm{m/s}.
  • Altura permanece constante: \,h=135\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade (dada): \,g=8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Convenção de sinais: calor recebido positivo, calor rejeitado negativo; trabalho recebido positivo, trabalho feito pelo sistema negativo.
    O que o exercício quer que a gente preencha:
  1. O trabalho que ocorre no processo (com o sinal segundo a convenção dada).
  2. O quociente \,V_f/V_i (quantas vezes o volume final é o volume inicial) supondo que a pressão é inversamente proporcional ao volume; foi dada a informação adicional de que, quando a pressão é \,410\\ \mathrm{kPa}, o volume do sistema é \,2504{,}4\\ \mathrm{L}.

Passo 2

Calcular a variação da energia interna total do sistema.
Explicação rápida do conceito: a energia interna total do sistema é a energia associada às energias microscópicas; a variação total de energia interna do sistema é \Delta U = m\,\Delta u, em que \,m é a massa e \Delta u é a variação da energia interna específica (energia por unidade de massa).
Cálculo:
\Delta U = m\,\Delta u = 11\cdot(-26)\\ \mathrm{kJ} = -286\\ \mathrm{kJ}.

Passo 3

Calcular a variação da energia cinética \Delta KE.
Fórmula: a energia cinética de um corpo é KE=\dfrac{1}{2}m v^2. Então a variação entre dois estados é \Delta KE=\dfrac{1}{2}m\big(v_2^2-v_1^2\big). Vou explicar cada termo: m é a massa em kg, v_1 e v_2 são as velocidades em \mathrm{m/s}. O resultado em joules convertimos para \mathrm{kJ} dividindo por 1000.
Cálculo passo a passo:
v_2^2=64^2=4096,\qquad v_1^2=32^2=1024,
\Delta KE=\tfrac{1}{2}\cdot 11\cdot(4096-1024)\\ \mathrm{J} = 5{,}5\cdot 3072\\ \mathrm{J}=16896\\ \mathrm{J}.
Converter para \mathrm{kJ}:
\Delta KE = \dfrac{16896}{1000}\\ \mathrm{kJ}=16{,}896\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Calcular a variação da energia potencial gravitacional \Delta PE.
Fórmula: PE = m g h. Como a altura permanece constante, \Delta h=0, logo \Delta PE=0. (Usei g=8\\ \mathrm{m/s^2} conforme o enunciado, mas como \Delta h=0 o valor não entra.)
\Delta PE = 0\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Somar todas as contribuições de energia para obter a variação total de energia do sistema \Delta E.
Explicação: a variação total de energia do sistema é a soma das variações interna, cinética e potencial: \Delta E=\Delta U+\Delta KE+\Delta PE.
Cálculo:
\Delta E = -286 + 16{,}896 + 0 = -269{,}104\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Aplicar a primeira lei da termodinâmica (com a convenção de sinais do enunciado) para obter o trabalho.
Explicação da fórmula: com a convenção dada (calor recebido positivo; trabalho recebido positivo), a primeira lei escreve-se
\Delta E = Q + W,
onde Q é o calor recebido pelo sistema e W é o trabalho recebido pelo sistema. Aqui o enunciado informou que 319\\ \mathrm{kJ} sai do sistema (calor transferido do sistema para a vizinhança), portanto
Q = -319\\ \mathrm{kJ}.
Substituindo \Delta E e Q na equação e resolvendo para W:
-269{,}104 = -319 + W \quad\Longrightarrow\quad W = -269{,}104 + 319 = 49{,}896\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação do sinal: W>0 significa que, segundo a convenção dada, o sistema recebeu trabalho de 49{,}896\\ \mathrm{kJ} (ou seja, trabalho entrante).

Passo 7

Agora resolver a parte sobre volumes quando p é inversamente proporcional a V.
Explicação do modelo: se a pressão é inversamente proporcional ao volume, existe uma constante C tal que
pV=C\quad\text{(constante durante o processo).}
Para um processo quasi-estático reversível com p=C/V, o trabalho realizado pelo sistema ao expandir de V_i para V_f é
W_{\text{by}}=\int_{V_i}^{V_f} p\,dV = \int_{V_i}^{V_f}\frac{C}{V}\,dV = C\ln\!\bigg(\frac{V_f}{V_i}\bigg).
Atenção ao sinal: W_{\text{by}} é o trabalho feito pelo sistema; segundo a convenção do enunciado o trabalho recebido pelo sistema é W=-W_{\text{by}}. Então
W = -C\ln\!\bigg(\frac{V_f}{V_i}\bigg).
Isolando a razão \dfrac{V_f}{V_i}:
\ln\!\bigg(\frac{V_f}{V_i}\bigg) = -\frac{W}{C}\quad\Longrightarrow\quad \frac{V_f}{V_i}=\exp\!\Big(-\frac{W}{C}\Big).

Passo 8

Obter a constante C a partir do dado numérico e calcular \dfrac{V_f}{V_i}.
Dados fornecidos: quando p=410\\ \mathrm{kPa}, o volume do sistema é 2504{,}4\\ \mathrm{L}. Vou interpretar isso como o estado inicial (p_i,V_i)=(410\\ \mathrm{kPa},\,2504{,}4\\ \mathrm{L}). Observação sobre unidades: 1\\ \mathrm{L}=0{,}001\\ \mathrm{m^3}, e 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m^3}=1\\ \mathrm{kJ}; isso facilita manter tudo em \mathrm{kJ} nas contas.
Converter V_i para \mathrm{m^3}:
V_i = 2504{,}4\\ \mathrm{L} = 2{,}5044\\ \mathrm{m^3}.
Calcular C=p_i V_i (em \mathrm{kJ}):
C = 410\cdot 2{,}5044 = 1026{,}804\\ \mathrm{kJ}.
Agora usar o valor de W encontrado ( W=49{,}896\\ \mathrm{kJ}) na fórmula para a razão de volumes:
\ln\!\bigg(\frac{V_f}{V_i}\bigg) = -\frac{49{,}896}{1026{,}804} = -0{,}0486149\ldots
\frac{V_f}{V_i} = \exp(-0{,}0486149\ldots) \approx 0{,}9526.
Interpretação: \dfrac{V_f}{V_i}\approx 0{,}9526, ou seja, o volume final é aproximadamente 95{,}26\% do volume inicial — houve uma pequena diminuição de volume (sinal negativo da variação de volume, como o enunciado pede considerar).

Resposta

W = 49{,}896\\ \mathrm{kJ}
\dfrac{V_f}{V_i} \approx 0{,}9526

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