Uma particula de galena que apresenta massa especifica
e esfericidade igual a 0,83 cai em água a
. Em tais condições a velocidade terminal da particula é igual a
. Estime o valor do diâmetro de uma partícula.
Quadro 7.3 Fluidodinámica da particula esférica isolada (COELHO; MASSARANI, 1996):
e Ress
Descriçaio*
Valor médio e desvio padrão
(7.46) 0.85
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|||||
|
|
||||||
| Quadro 7.3 Fluidodinámica da particula esférica isolada (COELHO; MASSARANI, 1996):
|
||||||
|
||||||
|
|
(7.46) 0.85 |
|
||||
Passo 1
O enunciado pede: estimar o diâmetro de uma partícula de galena que atinge velocidade terminal conhecida ao cair em água a
C. Dados fornecidos (vou convertê‑los para unidades SI, que são as que usaremos nas contas):
Pergunta: encontrar o diâmetro da partícula
.]
Passo 2
Entendendo o equilíbrio de forças no regime permanente (velocidade terminal). A partícula, ao cair, atinge uma velocidade terminal quando a força peso efetiva (peso menos empuxo) é equilibrada pela força de arrasto:
Escrevendo isso matematicamente (volume da esfera equivalente
e área projetada
):
Explico cada termo:
-
é a densidade da partícula ( ); -
é a densidade do fluido ( ); -
é a aceleração da gravidade ( ); -
é o diâmetro da partícula (m) — o que queremos; -
é o coeficiente de arrasto adimensional (depende do número de Reynolds e da forma); -
é a velocidade terminal (m/s).
Passo 3
Isolando
na equação anterior (simplificando
e
), obtemos a relação útil
Portanto:
Observação: esta expressão mostra que
é proporcional a
. Mas
depende do número de Reynolds
, que por sua vez depende de
. Ou seja, temos um problema acoplado que precisa de iteração.
Passo 4
Definição do número de Reynolds para a partícula:
Explico:
compara forças de inércia às viscosas; determina o regime de escoamento em torno da partícula e influencia
.
Para estimar
para uma esfera em regime onde
usarei a correlação de Schiller–Naumann (uma expressão muito usada em problemas de sedimentação):
Nota didática: esta fórmula é uma aproximação empírica que funciona razoavelmente para esferas entre
e
. Para partículas não esféricas a resistência aumenta — falarei disso adiante.
Passo 5
Estratégia numérica (iteração): tomo um chute inicial para
, calculo
, calculo
pela Schiller–Naumann, uso a fórmula do Passo 3 para atualizar
, e repito até convergir. Vou mostrar as iterações de forma clara e didática.
Dados numéricos auxiliares já reunidos:
Passo 6
Iteração 1 — chute inicial razoável:
(0,30 mm).
Aplicando Schiller–Naumann:
Atualizo
pela fórmula:
Passo 7
Iteração 2:
Passo 8
Iteração 3:
Passo 9
Iteração 4:
Passo 10
Iteração 5:
Passo 11
Iteração 6:
Passo 12
Iteração 7:
Passo 13
Iteração 8:
Passo 14
Iteração 9:
Passo 15
Continuação até convergência: repetindo o ciclo mais vezes (mostrei várias iterações para você ver a dinâmica) a sequência oscila e converge lentamente para um valor próximo de
ou seja, cerca de
a
. Vou adotar como valor central da aproximação para uma esfera equivalente
Explicação: este
é o diâmetro da esfera que, com a correlação de arrasto usada, dá a velocidade terminal observada.
Passo 16
Correção pela sfericidade (
). Partículas não esféricas têm maior arrasto que esferas de igual volume; portanto o diâmetro real tende a ser maior do que o
obtido assumindo esfera perfeita. Existem correlações detalhadas (ex.: Ganser, Haider–Levenspiel, Coelho–Massarani) que introduzem fatores de forma
que alteram
de forma precisa. Não dispondo aqui dos parâmetros exatos da Tabela 7.3 citada no enunciado, uso uma correção empírica simples e conservadora: aumentar o arrasto dividindo o
esférico por
(isto é, supondo
). Isso é uma aproximação razoável para dar conta do efeito de sfericidade quando
não é muito pequena.
Assim, multiplicamos o diâmetro por aproximadamente
(porque
é aproximadamente proporcional a
pela fórmula do Passo 3). Portanto:
Passo 17
Interpretação e arredondamento final: o valor calculado com a correção de sfericidade dá
Este é um valor estimado; usando a correlação mais completa de Coelho–Massarani (com
específicos) o resultado ficaria próximo e não muito distante, mas essa correlação exigiria os parâmetros tabulados que o enunciado cita (e procedimentos iterativos semelhantes).