Uma particula de galena que apresenta massa especifica 6,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e esfericidade igual a 0,83 cai em água a 30^{\circ} \mathrm{C}. Em tais condições a velocidade terminal da particula é igual a 3,5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Estime o valor do diâmetro de uma partícula.
\rho_{2}=6.5 \frac{\mathrm{gm}}{\mathrm{cm}^{3}} \varphi:=0.83 \quad T:=30^{\circ} \mathrm{C} \quad \rho:=995.71 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}}
d_{p}=? \mu=8.25 \cdot 10^{-3} \underset{\mathrm{~cm} \cdot \mathrm{~s}}{\mathrm{gm}}=\left(8.25 \cdot 10^{-9}\right) \underset{\mathrm{m} \cdot \mathrm{~s}}{\mathrm{~kg}}
u:=3.5 \frac{\mathrm{~cm}}{\mathrm{~s}} b:=9.81 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}}
A=\frac{4}{3} \cdot \frac{\left(\rho_{s}-\rho\right) \cdot \mu \cdot b}{\rho^{2} \cdot u^{3}}=1.397
Quadro 7.3 Fluidodinámica da particula esférica isolada (COELHO; MASSARANI, 1996): 0,65<\varphi \leq 1 e Ress 5 \times 10^{4}
Descriçaio*
{ }^{\boldsymbol{n}}
Valor médio e desvio padrão
\begin{aligned} & C_{D}=\left[\left(\frac{24}{K_{1} \mathrm{Re}}\right)^{n}+K_{2}^{n}\right]^{1 / n} \\\ & \operatorname{Re}=\left[\left(\frac{K_{1} C_{D} \mathrm{Re}^{2}}{24}\right)^{-n}+\left(\frac{C_{D} \mathrm{Re}^{2}}{K_{2}}\right)^{-s / 2}\right]^{1 / n} \end{aligned} (7.46) 0.85 \begin{aligned} & \frac{(\mathrm{Re})_{\text {exp }}}{(\mathrm{Re})_{\mathrm{ex}}}=1,00 \approx 0,13 \\\ & \frac{(\mathrm{Re})_{\text {exp }}}{(\mathrm{Re})_{\mathrm{ex}}}=1,00 \approx 0,14 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede: estimar o diâmetro de uma partícula de galena que atinge velocidade terminal conhecida ao cair em água a 30^\circC. Dados fornecidos (vou convertê‑los para unidades SI, que são as que usaremos nas contas):
\begin{aligned} &\rho_s=6{,}5\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}=6500\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3},\\[4pt] &\varphi=0{,}83\\ (\text{sfericidade}),\\[4pt] &\rho_{\text{água}}=\;995{,}71\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3},\\[4pt] &u_{\infty}=3{,}5\\ \frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=0{,}035\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}},\\[4pt] &\mu=8{,}25\times10^{-4}\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}\\ (\text{viscosidade dinâmica da água a }30^\circ\text{C}),\\[4pt] &g=9{,}81\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}. \end{aligned}áâá
Pergunta: encontrar o diâmetro da partícula d_p.]

Passo 2

Entendendo o equilíbrio de forças no regime permanente (velocidade terminal). A partícula, ao cair, atinge uma velocidade terminal quando a força peso efetiva (peso menos empuxo) é equilibrada pela força de arrasto:
\text{força peso efetiva} = \text{força de arrasto}.çç
Escrevendo isso matematicamente (volume da esfera equivalente \tfrac{\pi}{6}d_p^3 e área projetada \tfrac{\pi}{4}d_p^2):
\frac{\pi}{6}d_p^3 (\rho_s-\rho)\,g \;=\; \frac{1}{2} C_D\,\rho\,u_{\infty}^2 \,\frac{\pi}{4}d_p^2.
Explico cada termo:
  • \rho_s é a densidade da partícula ( \mathrm{kg/m^3});
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3});
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2});
  • d_p é o diâmetro da partícula (m) — o que queremos;
  • C_D é o coeficiente de arrasto adimensional (depende do número de Reynolds e da forma);
  • u_{\infty} é a velocidade terminal (m/s).

Passo 3

Isolando d_p na equação anterior (simplificando \pi e d_p^2), obtemos a relação útil
\frac{d_p}{6}(\rho_s-\rho)g=\frac{C_D\rho u_{\infty}^2}{8}.
Portanto:
\boxed{\,d_p=\frac{3\,C_D\,\rho\,u_{\infty}^2}{4(\rho_s-\rho)g}\,}.
Observação: esta expressão mostra que d_p é proporcional a C_D. Mas C_D depende do número de Reynolds \mathrm{Re}, que por sua vez depende de d_p. Ou seja, temos um problema acoplado que precisa de iteração.

Passo 4

Definição do número de Reynolds para a partícula:
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,u_{\infty}\,d_p}{\mu}.
Explico: \mathrm{Re} compara forças de inércia às viscosas; determina o regime de escoamento em torno da partícula e influencia C_D.
Para estimar C_D(\mathrm{Re}) para uma esfera em regime onde \mathrm{Re}\lesssim1000 usarei a correlação de Schiller–Naumann (uma expressão muito usada em problemas de sedimentação):
\boxed{\,C_D=\frac{24}{\mathrm{Re}}\left(1+0{,}15\,\mathrm{Re}^{0{,}687}\right)\,}
Nota didática: esta fórmula é uma aproximação empírica que funciona razoavelmente para esferas entre \mathrm{Re}\sim 0{,}1 e 10^3. Para partículas não esféricas a resistência aumenta — falarei disso adiante.

Passo 5

Estratégia numérica (iteração): tomo um chute inicial para d_p, calculo \mathrm{Re}, calculo C_D pela Schiller–Naumann, uso a fórmula do Passo 3 para atualizar d_p, e repito até convergir. Vou mostrar as iterações de forma clara e didática.
Dados numéricos auxiliares já reunidos:
\rho_s-\rho=6500-995{,}71=5504{,}29\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \rho=995{,}71\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad u_{\infty}=0{,}035\\ \mathrm{m/s},\qquad \mu=8{,}25\times10^{-4}.

Passo 6

Iteração 1 — chute inicial razoável: d_p^{(0)}=3{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (0,30 mm).
\mathrm{Re}^{(0)}=\frac{995{,}71\cdot0{,}035\cdot3{,}0\times10^{-4}}{8{,}25\times10^{-4}}\approx12{,}67.
Aplicando Schiller–Naumann:
C_D^{(0)}=\frac{24}{12{,}67}\Big(1+0{,}15\cdot12{,}67^{0{,}687}\Big)\approx3{,}52.
Atualizo d_p pela fórmula:
d_p^{(1)}=\frac{3\cdot3{,}52\cdot995{,}71\cdot0{,}035^2}{4\cdot5504{,}29\cdot9{,}81}\approx5{,}96\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=0{,}0596\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Iteração 2:
\mathrm{Re}^{(1)}=\frac{995{,}71\cdot0{,}035\cdot5{,}96\times10^{-5}}{8{,}25\times10^{-4}}\approx2{,}52,
C_D^{(1)}=\frac{24}{2{,}52}\Big(1+0{,}15\cdot2{,}52^{0{,}687}\Big)\approx12{,}23,
d_p^{(2)}=\frac{3\cdot12{,}23\cdot995{,}71\cdot0{,}035^2}{4\cdot5504{,}29\cdot9{,}81}\approx2{,}07\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}207\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Iteração 3:
\mathrm{Re}^{(2)}\approx8{,}75,\qquad C_D^{(2)}\approx4{,}57, \qquad d_p^{(3)}\approx7{,}74\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=0{,}0774\\ \mathrm{mm}.

Passo 9

Iteração 4:
\mathrm{Re}^{(3)}\approx3{,}27,\qquad C_D^{(3)}\approx9{,}82,\qquad d_p^{(4)}\approx1{,}66\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}166\\ \mathrm{mm}.

Passo 10

Iteração 5:
\mathrm{Re}^{(4)}\approx7{,}05,\qquad C_D^{(4)}\approx5{,}36,\qquad d_p^{(5)}\approx9{,}08\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=0{,}0908\\ \mathrm{mm}.

Passo 11

Iteração 6:
\mathrm{Re}^{(5)}\approx3{,}84,\qquad C_D^{(5)}\approx8{,}62,\qquad d_p^{(6)}\approx1{,}46\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}146\\ \mathrm{mm}.

Passo 12

Iteração 7:
\mathrm{Re}^{(6)}\approx6{,}17,\qquad C_D^{(6)}\approx5{,}92,\qquad d_p^{(7)}\approx1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}100\\ \mathrm{mm}.

Passo 13

Iteração 8:
\mathrm{Re}^{(7)}\approx4{,}24,\qquad C_D^{(7)}\approx7{,}96,\qquad d_p^{(8)}\approx1{,}35\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}135\\ \mathrm{mm}.

Passo 14

Iteração 9:
\mathrm{Re}^{(8)}\approx5{,}70,\qquad C_D^{(8)}\approx6{,}30,\qquad d_p^{(9)}\approx1{,}07\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}107\\ \mathrm{mm}.

Passo 15

Continuação até convergência: repetindo o ciclo mais vezes (mostrei várias iterações para você ver a dinâmica) a sequência oscila e converge lentamente para um valor próximo de
d_p^{\text{esfera eq.}}\approx(1{,}1\text{ a }1{,}3)\times10^{-4}\\ \mathrm{m},
ou seja, cerca de 0{,}11 a 0{,}13\\ \mathrm{mm}. Vou adotar como valor central da aproximação para uma esfera equivalente
\boxed{\,d_{eq}\approx1{,}20\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}120\\ \mathrm{mm}\,}.
Explicação: este d_{eq} é o diâmetro da esfera que, com a correlação de arrasto usada, dá a velocidade terminal observada.

Passo 16

Correção pela sfericidade ( \varphi=0{,}83). Partículas não esféricas têm maior arrasto que esferas de igual volume; portanto o diâmetro real tende a ser maior do que o d_{eq} obtido assumindo esfera perfeita. Existem correlações detalhadas (ex.: Ganser, Haider–Levenspiel, Coelho–Massarani) que introduzem fatores de forma K_1,K_2 que alteram C_D de forma precisa. Não dispondo aqui dos parâmetros exatos da Tabela 7.3 citada no enunciado, uso uma correção empírica simples e conservadora: aumentar o arrasto dividindo o C_D esférico por \varphi (isto é, supondo C_{D,\text{part}} \approx C_{D,\text{esf}}/\varphi). Isso é uma aproximação razoável para dar conta do efeito de sfericidade quando \varphi não é muito pequena.
Assim, multiplicamos o diâmetro por aproximadamente 1/\varphi (porque d_p é aproximadamente proporcional a C_D pela fórmula do Passo 3). Portanto:
d_p \approx \frac{d_{eq}}{\varphi}\approx\frac{1{,}20\times10^{-4}}{0{,}83}\approx1{,}45\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 17

Interpretação e arredondamento final: o valor calculado com a correção de sfericidade dá
d_p\approx1{,}45\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}145\\ \mathrm{mm}=145\\ \mu\mathrm{m}.
Este é um valor estimado; usando a correlação mais completa de Coelho–Massarani (com K_1,K_2,n específicos) o resultado ficaria próximo e não muito distante, mas essa correlação exigiria os parâmetros tabulados que o enunciado cita (e procedimentos iterativos semelhantes).

Resposta

d_p\approx1{,}45\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}145\\ \mathrm{mm}

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