O sistema de abastecimento de água de uma cidade possui uma caixa dágua de base retangular de dimensões 2 m e 3 m. Sabendo que esse sistema possui um vazamento que faz com que a altura do nível de água abaixe a uma taxa de 1 mm / s e que esse vazamento é causado por uma torneira deixada aberta de área de 2 cm^2. Calcule o desnível entre a posição dessa torneira com o nível de água da caixa dágua.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma caixa d’água retangular com base de 2 metros por 3 metros. Está vazando água por uma torneira com área de 2 cm², e essa perda faz com que o nível da água caia a uma taxa de 1 mm por segundo. Nosso objetivo é descobrir qual é a diferença de altura entre a posição da torneira e o nível da água na caixa d’água. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vazão e Torricelli.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da base da caixa d’água. A base é retangular com dimensões 2 m e 3 m. A área (A) é:
A = 2, m times 3, m = 6, m^2

Passo 3

Sabemos que o nível da água está caindo a uma taxa de 1 mm/s, que vamos converter para metros:
dhdt = 1, mm/s = 0,001, m/s

Passo 4

A taxa de variação do volume da água na caixa d’água é a área da base multiplicada pela taxa de variação da altura:
dVdt = A times dhdt = 6, m^2 times 0,001, m/s = 0,006, m^3/s

Passo 5

Esse valor de $ \frac{dV}{dt} $ representa a vazão de água saindo pela torneira. A vazão também pode ser expressa como produto da velocidade da água ($ v dVdt á a $):
v
Sabemos que a área da torneira é 2 cm², que convertendo para metros quadrados fica:
a

Passo 6

Isolando a velocidade ($ v $) na fórmula da vazão:
v

Passo 7

Agora, vamos usar a equação de Torricelli, que relaciona a velocidade de saída da água com a altura da coluna de água acima da torneira:
v = raiz2gh
Onde:
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81, m/s^2 $)
  • $ h $ é a altura da coluna de água
Isolando $ h $:
g
Substituindo os valores:
9,81, m/s^2

Resposta

A diferença de altura entre a posição da torneira e o nível da água na caixa d’água é de aproximadamente 45,9 metros.

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