O sistema de abastecimento de água de uma cidade possui uma caixa dágua de base retangular de dimensões
e
. Sabendo que esse sistema possui um vazamento que faz com que a altura do nível de água abaixe a uma taxa de
e que esse vazamento é causado por uma torneira deixada aberta de área de
. Calcule o desnível entre a posição dessa torneira com o nível de água da caixa dágua.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma caixa d’água retangular com base de 2 metros por 3 metros. Está vazando água por uma torneira com área de 2 cm², e essa perda faz com que o nível da água caia a uma taxa de 1 mm por segundo. Nosso objetivo é descobrir qual é a diferença de altura entre a posição da torneira e o nível da água na caixa d’água. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vazão e Torricelli.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da base da caixa d’água. A base é retangular com dimensões 2 m e 3 m. A área (A) é:
Passo 3
Sabemos que o nível da água está caindo a uma taxa de 1 mm/s, que vamos converter para metros:
Passo 4
A taxa de variação do volume da água na caixa d’água é a área da base multiplicada pela taxa de variação da altura:
Passo 5
Esse valor de $ \frac{dV}{dt} $ representa a vazão de água saindo pela torneira. A vazão também pode ser expressa como produto da velocidade da água ($ v
a $):
Sabemos que a área da torneira é 2 cm², que convertendo para metros quadrados fica:
Passo 6
Isolando a velocidade ($ v $) na fórmula da vazão:
Passo 7
Agora, vamos usar a equação de Torricelli, que relaciona a velocidade de saída da água com a altura da coluna de água acima da torneira:
Onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81, m/s^2 $)
- $ h $ é a altura da coluna de água
Isolando $ h $:
Substituindo os valores:
Resposta
A diferença de altura entre a posição da torneira e o nível da água na caixa d’água é de aproximadamente 45,9 metros.