Um sistema de aquecimento elétrico, cilíndrico, longo, de 10 mm de diâmetro, é instalado em um duto, onde escoa ar em corrente cruzada sobre o aquecedor, a uma temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C} e velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Desprezando a radiação, determine a temperatura da superfície em regime estacionário quando a energia está sendo dissipada a uma taxa de 1.000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}
b) Avalie a temperatura da superfície, admitindo a troca por radiação entre a superfície do sistema de aquecimento ( \varepsilon=0,8 ) e as paredes do duto, que formam um grande espaço a 27^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá um aquecedor cilíndrico de diâmetro D=10\text{ mm}=0,01\text{ m} dissipando Q'=1000\text{ W/m} em ar a T_\infty=27^\circ\text{C}=300\text{ K} e V=10\text{ m/s}.
a) Ignorar radiação e achar temperatura de superfície T_s em regime permanente usando convecção.
b) Incluir radiação de corpo negro com emis­sividade \varepsilon=0,8 para as paredes a 300\text{ K}.

Passo 2

Estimamos o coeficiente convectivo h pelo número de Nusselt em escoamento cruzado sobre cilindro.
  1. Kinematic viscosity do ar em 300\text{ K}: \nu\approx1,56\times10^{-5}\text{ m}^2/\text{s}.
  2. \displaystyle Re_D=\frac{V\,D}{\nu}=\frac{10\cdot0,01}{1,56\times10^{-5}}\approx6400.
  3. \displaystyle Pr\approx0,707.
  4. Churchill–Bernstein:
Nu_D=0,3+\frac{0,62\,Re_D^{1/2}\,Pr^{1/3}} {\bigl[1+(0,4/Pr)^{2/3}\bigr]^{1/4}} \Bigl[1+\bigl(Re_D/282000\bigr)^{5/8}\Bigr]^{4/5} \approx41{,}9.
  1. Condutividade do ar em 300\text{ K}: k\approx0,0263\text{ W/mK}.
  2. h=\displaystyle\frac{Nu_D\,k}{D}=\frac{41{,}9\cdot0,0263}{0,01}\approx110\text{ W/m}^2\text{K}.

Passo 3

Sem radiação, o balanço por metro de comprimento é
Q'=h\,\pi D\,(T_s-T_\infty) \;\Longrightarrow\; T_s =T_\infty+\frac{Q'}{h\,\pi D} =300+\frac{1000}{110\cdot\pi\cdot0,01}\approx589\text{ K}.
Em Celsius:
T_s-273{,}15\approx589-273{,}15\approx316^\circ\text{C}.

Passo 4

Corrigimos h avaliando propriedades a uma temperatura‐filme média \,T_{f}\approx\frac{300+589}{2}=444\text{ K}.
Em 444\text{ K}, toma‐se k\approx0,037, \nu\approx2,5\times10^{-5}, recalcula‐se Re_D\approx4000, Nu_D\approx32{,}7 e
h\approx\frac{32{,}7\cdot0,037}{0,01}\approx121\text{ W/m}^2\text{K}.
Refazendo T_s:
T_s=300+\frac{1000}{121\cdot\pi\cdot0,01}\approx563\text{ K},
ou seja
T_s\approx563-273{,}15\approx290^\circ\text{C}.

Passo 5

Agora incluindo radiação, o balanço por metro de comprimento é
Q' =h\,\pi D\,(T_s-T_\infty) +\varepsilon\,\sigma\,\pi D\,(T_s^4-T_\infty^4),
com \sigma=5,67\times10^{-8}\text{ W/m}^2\text{K}^4, \varepsilon=0,8.
Dividindo por \pi D, define‐se
\Phi(T_s)\equiv h\,(T_s-300) +\varepsilon\,\sigma\,(T_s^4-300^4) -\frac{1000}{\pi\cdot0,01}=0.
Usando h=121, resolve‐se por tentativa e erro:
  • Para T_s\approx537\text{ K} obtém‐se \Phi\approx0.
    Logo
T_s\approx537\text{ K} \quad\Longrightarrow\quad T_s-273{,}15\approx264^\circ\text{C}.

Resposta

a) T_s\approx563\text{ K}, ou seja \displaystyle290^\circ\text{C}.
b) Incluindo radiação, T_s\approx537\text{ K}, ou seja \displaystyle264^\circ\text{C}.

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