Uma esfera de aço inoxidável ( \mathrm{k}=15,1 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ; \rho=8055 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 e \mathrm{Cp}=480 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C} ) é removida de um forno, saindo a uma temperatura uniforme de 300^{\circ} \mathrm{C}. A esfera é então submetida a uma corrente de ar, a uma pressão de 1 atm e 25^{\circ} \mathrm{C}, com uma velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A temperatura da esfera cai eventualmente para 200^{\circ} \mathrm{C}. Determine o tempo desse resfriamento e a quantidade de calor trocada até esse instante. O diâmetro da esfera é de 25 cm .

Passo 1

O enunciado trata do resfriamento convectivo de uma esfera de aço inox (condutividade térmica k_s=15{,}1\\ \mathrm{W/m\,K}, densidade \rho=8055\\ \mathrm{kg/m^3} e capacidade térmica C_p=480\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}), de diâmetro D=0{,}25\\ \mathrm{m}. Ela sai do forno a 300\,^\circ\mathrm{C}, é submetida a ar a 25\,^\circ\mathrm{C} com velocidade V=3\\ \mathrm{m/s} e, quando atingir 200\,^\circ\mathrm{C}, queremos:
  1. O tempo de resfriamento até 200\,^\circ\mathrm{C}.
  2. A quantidade de calor trocada até esse instante.
    Para resolver, vamos (a) determinar o coeficiente de convecção h via correlação de Nu para esfera, (b) verificar se o método do corpo eleitoral (lumped capacitance) é válido, e (c) aplicar a equação de resfriamento linearizado.

Passo 2

Calcular h pela correlação de Churchill–Bernstein para esfera:
Re = \frac{V\,D}{\nu},\quad Pr=\frac{\mu\,C_p}{k_a}
Usando propriedades do ar em temperatura de filme (~ 150\,^\circC): \nu\approx2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, k_a\approx0{,}03\\ \mathrm{W/m\,K}, Pr\approx0{,}7.
Re = \frac{3\cdot0{,}25}{2{,}0\times10^{-5}}=3{,}75\times10^{4}\quad\Rightarrow\quad Re^{1/2}\approx194
Nu = 2 + 0{,}6\,Re^{1/2}\,Pr^{1/3} = 2 +0{,}6\cdot194\cdot(0{,}7)^{1/3}\approx105
h = \frac{Nu\,k_a}{D} = \frac{105\cdot0{,}03}{0{,}25}\approx12{,}6\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}

Passo 3

Verificar o número de Biot para ver se podemos usar o modelo de corpo eleitoral:
L_c = \frac{V}{A} = \frac{\tfrac{4}{3}\pi R^3}{4\pi R^2} = \frac{R}{3} = \frac{0{,}125}{3}=0{,}0417\\ \mathrm{m}
Bi = \frac{h\,L_c}{k_s} = \frac{12{,}6\cdot0{,}0417}{15{,}1}\approx0{,}035 \ll 0{,}1
Como Bi<0{,}1, o método lumped é válido.

Passo 4

A equação de resfriamento lumped é
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i - T_\infty} = \exp\!\Bigl(-\frac{h\,A}{\rho\,V\,C_p}\,t\Bigr).
Dados geométricos:
R=0{,}125\\ \mathrm{m}, \quad V=\tfrac{4}{3}\pi R^3\approx0{,}00818\\ \mathrm{m^3}, \quad A=4\pi R^2\approx0{,}1963\\ \mathrm{m^2}.
Massa e capacidade térmica total:
m\,C_p = \rho\,V\,C_p = 8055\cdot0{,}00818\cdot480\approx3{,}17\times10^{4}\\ \mathrm{J/K}.
Constante de decaimento:
\frac{h\,A}{m\,C_p} = \frac{12{,}6\cdot0{,}1963}{3{,}17\times10^{4}} \approx7{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Precisamos de t tal que T(t)=200\,^\circ\mathrm{C}, com T_i=300\,^\circ\mathrm{C} e T_\infty=25\,^\circ\mathrm{C}:
\frac{200-25}{300-25} = \exp\bigl(-7{,}8\times10^{-5}\,t\bigr) \quad\Rightarrow\quad 0,63636 = e^{-7{,}8\times10^{-5}\,t}
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-7{,}8\times10^{-5}\,t = \ln(0,63636)\approx -0,4516 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{0,4516}{7{,}8\times10^{-5}} \approx5{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{s}.

Passo 5

A quantidade de calo trocada até esse instante é
Q = m\,C_p\,(T_i - T(t)) = 3{,}17\times10^{4}\times(300-200) = 3{,}17\times10^{6}\\ \mathrm{J}.

Resposta

Tempo de resfriamento até 200\,^\circ\mathrm{C}:
t \approx 5{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{s} \quad(\approx1{,}6\\ \mathrm{h})
Quantidade de calor trocada até esse instante:
Q \approx 3{,}17\times10^{6}\\ \mathrm{J}.

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