Em uma fábrica, a máquina 1 produz por dia o dobro de peças que máquina 2. Sabe-se que
das peças fabricadas pela maquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto 7% de defeituosas são produzidas pela máquina 2. A produção diária das maquinas é misturada. Se selecionamos uma amostra de 3 peças, qual é a probabilidade de que as 2 sejam defeituosas? (considere que amostra é com reposição).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas máquinas numa fábrica: a máquina 1 produz o dobro de peças que a máquina 2 por dia. Sabemos que 4% das peças da máquina 1 são defeituosas e 7% das da máquina 2 também são. A produção dessas máquinas é misturada. A pergunta é: qual a probabilidade de, ao selecionar 3 peças com reposição, exatamente 2 serem defeituosas? Vamos precisar usar conceitos de probabilidade e combinatória para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a proporção de produção das máquinas. Se a máquina 2 produz $ x $ peças por dia, a máquina 1 produz $ 2x $. Então, a produção total diária é $ x + 2x = 3x $ peças.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de uma peça qualquer ser defeituosa. Para isso, usamos a Lei da Probabilidade Total. A probabilidade de uma peça ser defeituosa é a soma das probabilidades de ela vir da máquina 1 e ser defeituosa, mais a probabilidade de vir da máquina 2 e ser defeituosa.
Matematicamente:
Passo 4
Vamos calcular cada termo:
- Probabilidade de uma peça ser da máquina 1:
- Probabilidade de uma peça ser da máquina 2:
- Probabilidade de uma peça da máquina 1 ser defeituosa:
- Probabilidade de uma peça da máquina 2 ser defeituosa:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula:
Então, a probabilidade de uma peça qualquer ser defeituosa é de 5%.
Passo 6
Agora, queremos saber a probabilidade de, em uma amostra de 3 peças com reposição, exatamente 2 serem defeituosas. Isso é um caso de Probabilidade Binomial. A fórmula para isso é:
Onde:
- $ n = 3 $ (número de tentativas)
- $ k = 2 $ (número de sucessos)
- $ p = 0,05 $ (probabilidade de sucesso em cada tentativa)
Passo 7
Calculando os componentes:
Passo 8
Multiplicando tudo:
Convertendo para porcentagem:
Resposta
A probabilidade de que, ao selecionar uma amostra de 3 peças com reposição, exatamente 2 sejam defeituosas é de aproximadamente 0,71%.