Em uma fábrica, a máquina 1 produz por dia o dobro de peças que máquina 2. Sabe-se que 4 % das peças fabricadas pela maquina 1 tendem a ser defeituosas, enquanto 7% de defeituosas são produzidas pela máquina 2. A produção diária das maquinas é misturada. Se selecionamos uma amostra de 3 peças, qual é a probabilidade de que as 2 sejam defeituosas? (considere que amostra é com reposição).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas máquinas numa fábrica: a máquina 1 produz o dobro de peças que a máquina 2 por dia. Sabemos que 4% das peças da máquina 1 são defeituosas e 7% das da máquina 2 também são. A produção dessas máquinas é misturada. A pergunta é: qual a probabilidade de, ao selecionar 3 peças com reposição, exatamente 2 serem defeituosas? Vamos precisar usar conceitos de probabilidade e combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a proporção de produção das máquinas. Se a máquina 2 produz $ x $ peças por dia, a máquina 1 produz $ 2x $. Então, a produção total diária é $ x + 2x = 3x $ peças.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de uma peça qualquer ser defeituosa. Para isso, usamos a Lei da Probabilidade Total. A probabilidade de uma peça ser defeituosa é a soma das probabilidades de ela vir da máquina 1 e ser defeituosa, mais a probabilidade de vir da máquina 2 e ser defeituosa.
Matematicamente:
P(Defeituosa) = P(Máquina 1) times P(Defeituosa|Máquina 1) + P(Máquina 2) times P(Defeituosa|Máquina 2) áááá

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  • Probabilidade de uma peça ser da máquina 1:
P(Máquina 1) = 2x3x = 23 á
  • Probabilidade de uma peça ser da máquina 2:
P(Máquina 2) = x3x = 13 á
  • Probabilidade de uma peça da máquina 1 ser defeituosa:
P(Defeituosa|Máquina 1) = 4% = 0,04 á
  • Probabilidade de uma peça da máquina 2 ser defeituosa:
P(Defeituosa|Máquina 2) = 7% = 0,07 á

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula:
P(Defeituosa) = (23) times 0,04 + (13) times 0,07 = 0,083 + 0,073 = 0,153 = 0,05
Então, a probabilidade de uma peça qualquer ser defeituosa é de 5%.

Passo 6

Agora, queremos saber a probabilidade de, em uma amostra de 3 peças com reposição, exatamente 2 serem defeituosas. Isso é um caso de Probabilidade Binomial. A fórmula para isso é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n = 3 $ (número de tentativas)
  • $ k = 2 $ (número de sucessos)
  • $ p = 0,05 $ (probabilidade de sucesso em cada tentativa)

Passo 7

Calculando os componentes:
C(3, 2) = 3!2!(3-2)! = 3
p^k = 0,05^2 = 0,0025
(1-p)^n-k = 0,95^1 = 0,95

Passo 8

Multiplicando tudo:
P(2) = 3 times 0,0025 times 0,95 = 3 times 0,002375 = 0,007125
Convertendo para porcentagem:
0,007125 times 100 = 0,7125%

Resposta

A probabilidade de que, ao selecionar uma amostra de 3 peças com reposição, exatamente 2 sejam defeituosas é de aproximadamente 0,71%.

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