4- Um sistema automático de uma rede social detecta, em média, 2 postagens ofensivas por hora. Suponha que essas postagens ocorram ao acaso e sigam uma distribuição de Poisson.
a) Qual é a probabilidade de que, em uma hora, o sistema detecte exatamente 3 postagens ofensivas?
b) E a probabilidade de não detectar nenhuma postagem ofensiva?
c) Em um dia de 12 horas, qual o número esperado de postagens ofensivas?

Passo 1

O enunciado descreve um processo de chegadas ao acaso que segue uma distribuição de Poisson com taxa média de lambda=2 postagens ofensivas por hora. Precisamos calcular:
– (a) a probabilidade de ocorrer exatamente 3 postagens em 1 hora;
– (b) a probabilidade de não ocorrer nenhuma postagem em 1 hora;
– (c) o número esperado de postagens em 12 horas.

Passo 2

A função massa de probabilidade (pmf) de uma variável aleatória X que segue Poisson com parâmetro lambda é
P(X=k) ;=; e^-lambda,lambda^kk!,
onde kin0,1,2,dots.

Passo 3

Para (a), substituímos lambda=2 e k=3:
P(X=3) ;=; e^-2,2^33! ;=; e^-2,86 ;=;43,e^-2

Passo 4

Para (b), colocamos k=0 na mesma fórmula:
P(X=0) ;=; e^-2,2^00! ;=; e^-2,11 ;=; e^-2

Passo 5

Para (c), como o processo é homogêneo no tempo, em t horas a média é lambda t. Assim, para t=12 horas:
E[X]=lambda,t = 2 times 12 = 24

Resposta

(a) P(X=3)=43,e^-2.
(b) P(X=0)=e^-2.
(c) Número esperado em 12 horas: 24.

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