O tempo (em min) entre falhas na produção de uma peça pode ser modelado pela seguinte PDF:
f(x)= 2.5, & para 0.75 <= x <= 1.15 0, & para outros valores de x
a) Determine as seguintes probabilidades:
P(X >= 1)= square
P(X <= 0.8)= square
b) Determine o valor esperado e a variância do tempo entre as falhas.
E[X]=mu= square
V(X)=sigma^2= square

Passo 1

O enunciado descreve o tempo entre falhas
Isso coincide com uma distribuição uniforme no intervalo ([0.75,,1.15]]. Vamos usar as propriedades dessa distribuição para calcular as probabilidades, o valor esperado e a variância.

Passo 2

Numa distribuição uniforme Xsim Uniform(a,b) temos
a=0.75, b=1.15, b-a=0.4, f(x)=1b-a=10.4=2.5
A função de distribuição acumulada é
F(x)= 0, & x<a, x-ab-a, & a<= x<= b, 1, & x>b

Passo 3

Para calcular P(X>=1) usamos
P(X>=1)=1-F(1) =1-1-0.750.4 =1-0.250.4 =1-0.625 =0.375
Para P(X<=0.8) temos
P(X<=0.8)=F(0.8) =0.8-0.750.4 =0.050.4 =0.125

Passo 4

As fórmulas para Xsim Uniform(a,b) são
E[X]=a+b2, V(X)=(b-a)^212
Substituindo a=0.75 e b=1.15, temos
E[X]=0.75+1.152=0.95, V(X)=(1.15-0.75)^212 =0.1612approx0.01333

Resposta

P(X>=1)=0.375
P(X<=0.8)=0.125
E[X]=0.95
V(X)=0.01333

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