Determine o vetor binormal B(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
B(t)=widehatT(t) times N(t)
r(t)=a sin (omega t) i+a cos (omega t) k

Passo 1

O enunciado pede o vetor binormal B(t) da curva
r(t)=asin(omega t), i + acos(omega t), k
usando a definição
B(t)=widehat T(t)times N(t)
Vamos então calcular o vetor unitário tangente widehat T(t), o vetor unitário normal N(t) e finalmente o binormal B(t).

Passo 2

Calculemos a derivada r'(t), sua norma e o vetor unitário tangente widehat T(t):
r'(t) = aomegacos(omega t), i ;-; aomegasin(omega t), k
l| r'(t)r| = aomega
widehat T(t) = r'(t)| r'(t)| = cos(omega t), i ;-; sin(omega t), k

Passo 3

Agora derivamos widehat T(t) e normalizamos para obter N(t):
dwidehat Tdt = -omegasin(omega t), i ;-;omegacos(omega t), k
l|tfracdwidehat Tdtr| = omega
N(t) = tfracdwidehat Tdtl|tfracdwidehat Tdtr| = -sin(omega t), i ;-;cos(omega t), k

Passo 4

Finalmente, fazemos o produto vetorial widehat T(t)times N(t):
B(t) = l(cos(omega t), i -sin(omega t), kr) timesl(-sin(omega t), i -cos(omega t), kr) = j

Resposta

B(t)= j

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