Um sistema de comunicação é formado por n componentes, cada um dos quais irá, independentemente, funcionar com probabilidade p. O sistema total funciona de forma efetiva se pelo menos metade de seus componentes também funcionar. Para que valores de p um sistema com 5 componentes tem maior probabilidade de funcionar corretamente do que um valor de 3 componentes?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um sistema com n componentes, cada um funciona com probabilidade independemente. O sistema inteiro funciona se pelo menos metade dos componentes funcionarem. A pergunta é: para quais valores de o sistema com 5 componentes (precisa de 3 ou mais funcionando) é mais confiável do que o sistema com 3 componentes (precisa de 2 ou mais funcionando)?
Conteúdo e o que vamos precisar:
  • Distribuição Binomial (pra calcular a probabilidade de “x sucessos em n tentativas”).
  • Noções de soma de probabilidades (cumulativa) e álgebra para comparar duas funções de .

Passo 2

Primeiro, vamos montar as expressões de probabilidade pra cada sistema.
Sistema de 3 componentes (funciona se ≥2 dão certo):
P3(p) = Pr(X>=2) = binom32p^2(1-p)^1 + binom33p^3 = 3p^2(1-p) + p^3
Sistema de 5 componentes (funciona se ≥3 dão certo):
P5(p) = Pr(Y>=3) = binom53p^3(1-p)^2 + binom54p^4(1-p)^1 + binom55p^5
Aqui é o “n escolhe k” da binomial.

Passo 3

Vamos simplificar cada uma:
Para P3(p) = 3p^2(1-p) + p^3 = 3p^2 - 3p^3 + p^3 = 3p^2 - 2p^3 :
P5(p) &= 10,p^3(1-p)^2 + 5,p^4(1-p) + p^5 &= 10p^3l(1-2p+p^2r) + 5p^4(1-p) + p^5 &= 10p^3 -20p^4 +10p^5 +5p^4 -5p^5 +p^5 &= 10p^3 -15p^4 +6p^5
Para :

Passo 4

Queremos saber quando P5 - P3 &= l(10p^3 -15p^4 +6p^5r) - l(3p^2 -2p^3r) &= 6p^5 -15p^4 +10p^3 -3p^2 . Então montamos a diferença e vemos onde ela é positiva:
P5 - P3 = 3p^2l(2p^3 -5p^2 +4p -1r)
Fatorando (que é sempre não-negativo para ):

Passo 5

Agora precisamos resolver a desigualdade
2p^3 -5p^2 +4p -1 > 0
Primeiro encontramos as raízes do polinômio 2-5+4-1 = 0, . Testando 2p^3 -5p^2 +4p -1 = (p-1)(2p^2 -3p +1) :
p = 3pm14 ;Longrightarrow; p = tfrac12 ou p = 1
logo é raiz. Fazendo divisão sintética (ou fatoração), achamos
O discriminante de é , então as raízes são
Como o coeficiente de em é positivo, esse quadrático é positivo pra e pra . Mas a gente só se interessa em .
Conclusão da análise de sinal:
  • Para , temos .
  • Em ou , dá zero.
  • Para , fica negativo.
Como sempre, a diferença é positiva exatamente quando .

Resposta

O sistema com 5 componentes tem maior probabilidade de funcionar do que o de 3 componentes se, e somente se,
boxed0 < p < tfrac12

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