Um sistema de comunicação é formado por n componentes, cada um dos quais irá, independentemente, funcionar com probabilidade p. O sistema total funciona de forma efetiva se pelo menos metade de seus componentes também funcionar. Para que valores de
um sistema com 5 componentes tem maior probabilidade de funcionar corretamente do que um valor de 3 componentes?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos um sistema com n componentes, cada um funciona com probabilidade
independemente. O sistema inteiro funciona se pelo menos metade dos componentes funcionarem. A pergunta é: para quais valores de
o sistema com 5 componentes (precisa de 3 ou mais funcionando) é mais confiável do que o sistema com 3 componentes (precisa de 2 ou mais funcionando)?
Conteúdo e o que vamos precisar:
Conteúdo e o que vamos precisar:
- Distribuição Binomial (pra calcular a probabilidade de “x sucessos em n tentativas”).
- Noções de soma de probabilidades (cumulativa) e álgebra para comparar duas funções de
.
Passo 2
Primeiro, vamos montar as expressões de probabilidade pra cada sistema.
Sistema de 3 componentes (funciona se ≥2 dão certo):
Sistema de 5 componentes (funciona se ≥3 dão certo):
Aqui
é o “n escolhe k” da binomial.
Passo 3
Vamos simplificar cada uma:
Para
:
Para
:
Passo 4
Queremos saber quando
. Então montamos a diferença e vemos onde ela é positiva:
Fatorando
(que é sempre não-negativo para
):
Passo 5
Agora precisamos resolver a desigualdade
Primeiro encontramos as raízes do polinômio
. Testando
:
logo
é raiz. Fazendo divisão sintética (ou fatoração), achamos
O discriminante de
é
, então as raízes são
Como o coeficiente de
em
é positivo, esse quadrático é positivo pra
e pra
. Mas a gente só se interessa em
.
Conclusão da análise de sinal:
- Para
, temos . - Em
ou , dá zero. - Para
, fica negativo.
Como
sempre, a diferença
é positiva exatamente quando
.
Resposta
O sistema com 5 componentes tem maior probabilidade de funcionar do que o de 3 componentes se, e somente se,