Suponha que uma variável aleatória X seja tal que R X=1,2,3, ldots e P(X =i)=1 / 2 i para todo i in R X.
Calcule P(X <= 5);

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pediu. A variável aleatória P(X = i) ;=; 12^i, i = 1,2,3,dots só pode assumir valores inteiros positivos: . A probabilidade de cada valor é dada por
O que queremos é , ou seja, a soma das probabilidades de ser 1, 2, 3, 4 ou 5. Para isso vamos usar conhecimento de série geométrica (isto é, somar potências de ).

Passo 2

O que significa P(X <= 5) ;=; sumi=1^5 P(X = i) ?
Por definição de probabilidade para variável discreta,
P(X<=5) =sumi=1^5 12^i
Aqui cada vale . Então temos:

Passo 3

Agora vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica: se sumk=1^n r^k ;=; r ,1 - r^n1 - r ,
sumi=1^5 12^i = sumi=1^5 l(tfrac12r)^i = tfrac12 ,1 - (tfrac12)^51 - tfrac12
No nosso caso, e . Então

Passo 4

Basta agora simplificar:
  1. 12 ,1 - tfrac132tfrac12 = 1 - 132 = 3232 - 132 = 3132 .
  2. .
    Então

Resposta

boxedP(X <= 5) = 3132

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