Suponha que uma variável aleatória X seja tal que R X=1,2,3, ldots e P(X =i)=1 / 2 i para todo i in R X.
Calcule P(X ser par).

Passo 1

Beleza, vamos começar. O enunciado diz que P(X = i) ;=; 12^ipara todo iin1,2,3,dots é uma variável aleatória que toma valores em com
A tarefa é calcular a probabilidade de ser par, ou seja, é.
Conteúdo: probabilidade em variáveis discretas e soma de séries geométricas.
O que vamos usar:
  1. Evento “ par” como união disjunta de valores .
  2. Soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Vamos escrever o evento e sua probabilidade.
X é par = X=2cupX=4cupX=6cupcdots é
Como esses eventos são disjuntos,
P(X é par) =sumk=1^inftyPl(X=2kr) é

Passo 3

Substituindo P(X é par) =sumk=1^infty12^2k =sumk=1^inftyl(14r)^k , a soma vira
é
Repare que é uma série geométrica: soma de para , com razão .

Passo 4

Teoria da série geométrica infinita: se sumk=1^inftyr^k = r1-r , então
Aqui , então a fórmula vale.

Passo 5

Aplicando sumk=1^inftyl(14r)^k =tfrac141-tfrac14 =tfrac14tfrac34 =14cdot43 =13 :

Resposta

boxedP(X é par) = tfrac13 é

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