Um sistema de comunicação transmite bits 1 ou 0 com igual probabilidade através de um canal ruidoso. O transmissor envia o valor -10 para bit 0 e o valor 10 para bit 1. O valor recebido é dado pela variável aleatória
  • Y=-10+N dado que foi enviado bit 0 ,
  • Y=10+N dado que foi enviado bit 1 ,
    sendo N sim N(0,4^2) o ruído. O receptor decide que foi enviado bit 0 , se Y<0; e que foi enviado bit 1 se Y>0.
    (a) (3 ptos) Qual é a probabilidade do receptor detectar erroneamente o bit enviado?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema binário com sinalização antipodal: para o bit 0 é enviado -10 e para o bit 1 é enviado 10. O ruído N é gaussiano com média zero e desvio padrão 4, isto é NsimN(0,4^2). O receptor compara a observação Y a 0 e decide 1 se Y>0 ou 0 se Y<0. Precisamos achar a probabilidade de detecção errada, Pe.

Passo 2

Vamos calcular a probabilidade de erro condicionada a cada bit. Suponha que o bit 1 foi enviado. Então
Y = 10 + N
O erro ocorre se o receptor decidir 0, ou seja, se Y<0. Logo o evento de erro é
10 + N < 0 Long<=ftrightarrow N < -10
Como N é simétrico em torno de zero,

Passo 3

de forma semelhante, se o bit 0 foi enviado temos
Y = -10 + N,
e erro se Y>0, isto é N>10. Pelo mesmo motivo de simetria,
P(N>10) = P(N<-10)
Como as probabilidades a priori são iguais ( 1/2 para cada bit) e os erros condicionais são iguais, a probabilidade total de erro é
Pe = P(N>10)

Passo 4

Padronizando N em unidades do desvio padrão sigma=4, definimos a função Q(x)=P(Z>x) para ZsimN(0,1). Temos
Pe = Pl(N>10r) = Q!l(tfrac104r) = Q(2,5)

Passo 5

Usando valor tabelado da função Q, temos aproximadamente
Q(2,5) approx 0,0062

Resposta

A probabilidade de erro é aproximadamente 0,0062.

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