Um sistema de comunicação transmite bits 1 ou 0 com igual probabilidade através de um canal ruidoso. O transmissor envia o valor -10 para bit 0 e o valor 10 para bit 1. O valor recebido é dado pela variável aleatória
-
dado que foi enviado bit 0 ,
-
dado que foi enviado bit 1 ,
sendo
o ruído. O receptor decide que foi enviado bit 0 , se
; e que foi enviado bit 1 se
.
(a) (3 ptos) Qual é a probabilidade do receptor detectar erroneamente o bit enviado?
sendo
(a) (3 ptos) Qual é a probabilidade do receptor detectar erroneamente o bit enviado?
Passo 1
O enunciado descreve um sistema binário com sinalização antipodal: para o bit 0 é enviado
e para o bit 1 é enviado
. O ruído
é gaussiano com média zero e desvio padrão
, isto é
. O receptor compara a observação
a
e decide 1 se
ou 0 se
. Precisamos achar a probabilidade de detecção errada,
.
Passo 2
Vamos calcular a probabilidade de erro condicionada a cada bit. Suponha que o bit 1 foi enviado. Então
O erro ocorre se o receptor decidir 0, ou seja, se
. Logo o evento de erro é
Como
é simétrico em torno de zero,
Passo 3
de forma semelhante, se o bit 0 foi enviado temos
e erro se
, isto é
. Pelo mesmo motivo de simetria,
Como as probabilidades a priori são iguais (
para cada bit) e os erros condicionais são iguais, a probabilidade total de erro é
Passo 4
Padronizando
em unidades do desvio padrão
, definimos a função
para
. Temos
Passo 5
Usando valor tabelado da função
, temos aproximadamente
Resposta
A probabilidade de erro é aproximadamente
.