Um sistema que consiste em 2,000 mol de um gás ideal inicialmente a 273,15 K e 1,000 atm é submetido a uma expansão livre de Joule para o dobro de seu volume.
a) Calcule a entropia do sistema, do entorno e do universo para este processo irreversível.
b) Mostre que o processo é espontâneo calculando o trabalho que pode ser realizado convertendo a expansão livre em uma expansão reversível que leva o sistema do mesmo estado inicial ao mesmo estado final.

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui? Um gás ideal com n=2000 mol, T₁=273,15 K e p₁=1 atm sofre expansão livre de Joule até dobrar o volume (V₂=2·V₁).
Conteúdo: termodinâmica clássica – entropia e trabalho em gases ideais.
O que vamos usar:
  1. Definição de entropia ΔS=∫(δq_rev/T) e fórmula para gás ideal.
  2. Entender que na expansão livre não há troca de calor (Q=0).
  3. Cálculo de trabalho máximo via processo isotérmico reversível.

Passo 2

Vamos achar ΔS do sistema.
Teoria: para qualquer mudança de estado de um gás ideal, podemos imaginar um caminho reversível que leve de (T,V₁) a (T,V₂). Numa isoterma reversível temos δq_rev = p_rev·dV = (nRT/V) dV.
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ΔSrm sist ;=; integralV₁^V₂δqrm revT ;=;integralV₁^V₂nRV,dV ;=;nRlnV₂V₁
Como V₂/V₁=2, n=2000 mol e R=8,314 J·mol⁻¹·K⁻¹,
ΔSrm sist =2000cdot8,314cdotln2 approx11529;J/K

Passo 3

ΔS do entorno (ou “ambiente”) vem de ΔS_env=Q_env/T. Na expansão livre o sistema não troca calor com o entorno (Q_sys=0), então Q_env=–Q_sys=0 e
ΔSrm env=0

Passo 4

ΔS do universo = ΔS_sist + ΔS_env
ΔSrm univ =11529+0 =11529;J/K
Como ΔS_univ>0, o processo é espontâneo.

Passo 5

Para mostrar a espontaneidade também calculamos o trabalho máximo aproveitável, que é o da expansão isotérmica reversível do mesmo estado inicial (T,V₁) ao final (T,V₂):
wrm rev =-integralV₁^V₂p,dV =-integralV₁^V₂nRTV,dV =-nRTlnV₂V₁
Se quisermos o trabalho entregue pelo sistema, mudamos o sinal:
wmax=+nRTln2
Substituindo n=2000, R=8,314 e T=273,15 K:
wmax =2000cdot8,314cdot273,15cdotln2 approx3,15times10^6;J
Isso mostra que dá para extrair trabalho (positivo), ou seja, o processo é espontâneo.

Resposta

ΔS_sist ≈ 1,1529×10^4 J/K
ΔS_env = 0
ΔS_univ ≈ 1,1529×10^4 J/K (positivo)
Trabalho máximo w_max ≈ 3,15×10^6 J.

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