Uma partícula está no estado fundamental de um poço quadrado infinito de largura
. Encontre a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
nos pontos:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula no estado fundamental de um poço quadrado infinito com largura $ L $. A pergunta é: qual é a probabilidade de encontrar essa partícula num intervalo muito pequeno de tamanho $ \Delta x = 0,002 L $ no ponto $ x = \frac{2L}{3} $. Para resolver isso, vamos precisar usar a função de onda do estado fundamental e entender como calcular probabilidades em mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda para o estado fundamental de um poço quadrado infinito. No estado fundamental, a função de onda $ \psi_1(x) $ é dada por:
Essa função descreve a posição da partícula dentro do poço.
Passo 3
Agora, para encontrar a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo $ \Delta x $ ao redor de $ x = \frac{2L}{3} $, a gente precisa calcular o módulo quadrado da função de onda nesse ponto e multiplicar pelo tamanho do intervalo. Ou seja:
Passo 4
Vamos calcular $ |\psi_1\left(\frac{2L}{3}\right)|^2 $. Substituindo $ x = \frac{2L}{3} $ na função de onda:
Como $ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
Passo 5
Agora, calculamos o módulo quadrado dessa expressão:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos pelo intervalo $ \Delta x = 0,002L $ para obter a probabilidade:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo $ \Delta x = 0,002L $ em $ x = \frac{2L}{3} $ é de $ 0,003 $ ou 0,3%.