Em uma certa situação física, a função de onda de um elétron em t=0 é dada por Psi(x)=A e^-x^2 / 4 sigma, onde A e sigma são constantes reais positivas. Não há confinamento, de modo que o elétron pode se mover ao longo de toda a reta real.
(a) Qual é a posição mais provável de encontrar o elétron?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá a função de onda de um elétron no tempo t=0, que é Psi(x) = A e^-x^2 / 4 sigma. Queremos descobrir qual é a posição mais provável de encontrar esse elétron. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a interpretação probabilística da função de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função de onda Psi(x) descreve a probabilidade de encontrar a partícula em determinada posição x. A densidade de probabilidade é dada por |Psi(x)|^2. Então, para encontrar a posição mais provável, precisamos maximizar essa densidade de probabilidade.

Passo 3

Vamos calcular |Psi(x)|^2:
|Psi(x)|^2 = Psi(x) cdot Psi^*(x)
Como Psi(x) é uma função real, Psi^*(x) = Psi(x). Então:
|Psi(x)|^2 = [A e^-x^2 / 4 sigma]^2 = A^2 e^-x^2 / 2 sigma

Passo 4

Agora, queremos encontrar o valor de x que maximiza |Psi(x)|^2. Isso significa encontrar o valor de x onde |Psi(x)|^2 atinge seu valor máximo. Vamos derivar |Psi(x)|^2 em relação a x e igualar a zero para encontrar esse ponto.

Passo 5

Calculando a derivada:
ddx |Psi(x)|^2 = ddx [A^2 e^-x^2 / 2 sigma] = A^2 cdot ( -2x2 sigma ) e^-x^2 / 2 sigma = -A^2 xsigma e^-x^2 / 2 sigma
Igualando a derivada a zero:
-A^2 xsigma e^-x^2 / 2 sigma = 0

Passo 6

A equação acima é igual a zero quando o numerador é zero, já que A^2 e e^-x^2 / 2 sigma nunca são zero. Então:
x = 0

Resposta

A posição mais provável de encontrar o elétron é x = 0.

Exercícios relacionados