Num sistema de coordenadas esféricas, um ponto A dista da origem 2 m , enquanto, um ponto B dista 4 m da origem. Se o campo elétrico é representado pelo vetor
, no SI, ache o potencial elétrico no ponto A , tendo como referência o infinito. Repita o cálculo para o ponto B . Finalmente, determine a diferença de potencial entre os pontos A e B .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as questões abaixo.
- Informação 1: o ponto
está a uma distância da origem. - Informação 2: o ponto
está a uma distância da origem. - Informação 3: o campo elétrico, em coordenadas esféricas, é
(em unidades do SI).
Perguntas pedidas:
- Ache o potencial elétrico no ponto
, tomando o potencial no infinito igual a zero (referência no infinito). - Repita o cálculo para o ponto
. - Determine a diferença de potencial entre os pontos
e (vou tomar a diferença como ).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
- O potencial elétrico
e o campo elétrico estão ligados pela relação
ou, equivalentemente, pelo integral de linha
- Aqui
é o potencial no ponto , é o potencial em um ponto de referência, e é o elemento de deslocamento ao longo do caminho da integração. - No problema a referência pedida é o infinito, isto é,
. Então usamos
- Observação prática: como
é radial (proporcional a ) e depende só de , podemos escolher um caminho radial (linha ao longo do raio) e escrever . Assim , onde é a componente radial de .
Passo 3
Determinação da expressão geral de
.
- A componente radial do campo é
(peguei isso diretamente do enunciado). - Substituindo na fórmula para
:
- Simplificando o sinal:
- Calcule a integral. A primitiva de
é , pois . - Portanto
- Fazendo
o termo vai a zero, então a integral vale . - Multiplicando por 16:
- Conclusão: com a referência
, obtemos a expressão do potencial em qualquer raio :
Passo 4
Potencial no ponto
(onde
).
- Substituindo
na expressão encontrada:
- Unidade: volts, então
Passo 5
Potencial no ponto
(onde
).
- Substituindo
na expressão:
- Unidade:
Passo 6
Diferença de potencial entre
e
.
- Tomando a diferença como
:
- Interpretação física curta:
é menor que ; ou seja, ao mover uma carga positiva de para o potencial diminui .