Num sistema de coordenadas esféricas, um ponto A dista da origem 2 m , enquanto, um ponto B dista 4 m da origem. Se o campo elétrico é representado pelo vetor \vec{E}=-\frac{16}{r^{2}} \hat{r}, no SI, ache o potencial elétrico no ponto A , tendo como referência o infinito. Repita o cálculo para o ponto B . Finalmente, determine a diferença de potencial entre os pontos A e B .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as questões abaixo.
  • Informação 1: o ponto A está a uma distância r_A=2\\ \mathrm{m} da origem.
  • Informação 2: o ponto B está a uma distância r_B=4\\ \mathrm{m} da origem.
  • Informação 3: o campo elétrico, em coordenadas esféricas, é
\vec{E} = -\frac{16}{r^{2}}\,\hat{r}
(em unidades do SI).
Perguntas pedidas:
  1. Ache o potencial elétrico no ponto A, tomando o potencial no infinito igual a zero (referência no infinito).
  2. Repita o cálculo para o ponto B.
  3. Determine a diferença de potencial entre os pontos A e B (vou tomar a diferença como V(A)-V(B)).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
  • O potencial elétrico V(\mathbf{r}) e o campo elétrico \vec{E}(\mathbf{r}) estão ligados pela relação
\vec{E} = -\nabla V,
ou, equivalentemente, pelo integral de linha
V(\mathbf{r}) - V(\mathbf{r}_0) = -\int_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}} \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
  • Aqui V(\mathbf{r}) é o potencial no ponto \mathbf{r}, V(\mathbf{r}_0) é o potencial em um ponto de referência, e d\vec{\ell} é o elemento de deslocamento ao longo do caminho da integração.
  • No problema a referência pedida é o infinito, isto é, V(\infty)=0. Então usamos
V(r) = -\int_{\infty}^{r} \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
  • Observação prática: como \vec{E} é radial (proporcional a \hat r) e depende só de r, podemos escolher um caminho radial (linha ao longo do raio) e escrever d\vec{\ell} = dr\,\hat r. Assim \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = E_r\,dr, onde E_r é a componente radial de \vec{E}.

Passo 3

Determinação da expressão geral de V(r).
  • A componente radial do campo é E_r = -\dfrac{16}{r^2} (peguei isso diretamente do enunciado).
  • Substituindo na fórmula para V(r):
V(r) = -\int_{\infty}^{r} E_r\,dr = -\int_{\infty}^{r} \left(-\frac{16}{r^{2}}\right) dr.
  • Simplificando o sinal:
V(r) = +16\int_{\infty}^{r} r^{-2}\,dr.
  • Calcule a integral. A primitiva de r^{-2} é -r^{-1}, pois \dfrac{d}{dr}(-r^{-1}) = r^{-2}.
  • Portanto
\int_{\infty}^{r} r^{-2}\,dr = \lim_{R\to\infty}\int_{R}^{r} r^{-2}\,dr = \lim_{R\to\infty}\big[-\tfrac{1}{r}\big]_{R}^{r} = -\frac{1}{r} -\big(-\frac{1}{R}\big) = -\frac{1}{r} + \frac{1}{R}.
  • Fazendo R\to\infty o termo 1/R vai a zero, então a integral vale -\dfrac{1}{r}.
  • Multiplicando por 16:
V(r) = 16\left(-\frac{1}{r}\right) = -\frac{16}{r}.
  • Conclusão: com a referência V(\infty)=0, obtemos a expressão do potencial em qualquer raio r>0:
V(r) = -\frac{16}{r}\quad(\text{volts}).

Passo 4

Potencial no ponto A (onde r_A=2\\ \mathrm{m}).
  • Substituindo r= r_A = 2 na expressão encontrada:
V(A)=V(r_A)= -\frac{16}{2} = -8.
  • Unidade: volts, então
V(A) = -8\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Potencial no ponto B (onde r_B=4\\ \mathrm{m}).
  • Substituindo r= r_B = 4 na expressão:
V(B)=V(r_B)= -\frac{16}{4} = -4.
  • Unidade:
V(B) = -4\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Diferença de potencial entre A e B.
  • Tomando a diferença como V(A)-V(B):
V(A)-V(B) = (-8\\ \mathrm{V}) - (-4\\ \mathrm{V}) = -4\\ \mathrm{V}.
  • Interpretação física curta: V(A) é 4\\ \mathrm{V} menor que V(B); ou seja, ao mover uma carga positiva de B para A o potencial diminui 4\\ \mathrm{V}.

Resposta

V(A) = -8\\ \mathrm{V}\n
V(B) = -4\\ \mathrm{V}\n
V(A)-V(B) = -4\\ \mathrm{V}

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