Calcule o trabalho necessário para mover uma carga pontual
da origem até o ponto
dentro campo elétrico representado por
no SI, ao longo da trajetória
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o trabalho necessário para mover uma carga pontual da origem até o ponto
ao longo da curva
dentro de um campo elétrico dado. Dados fornecidos:
Ponto inicial:
. Ponto final:
.
Pergunta explicitada: calcular o trabalho associado ao deslocamento dessa carga ao longo da trajetória indicada. (Mais adiante eu explico a diferença entre o trabalho realizado pelo campo e o trabalho que precisa ser fornecido por um agente externo.)
Pergunta explicitada: calcular o trabalho associado ao deslocamento dessa carga ao longo da trajetória indicada. (Mais adiante eu explico a diferença entre o trabalho realizado pelo campo e o trabalho que precisa ser fornecido por um agente externo.)
Passo 2
Decidindo o método: uma forma direta é calcular a integral de linha
Mas antes de integrar, verificamos se o campo é conservativo (isso simplifica bastante porque torna o trabalho independente da trajetória). Para isso calculamos o rotacional (curl) em 2D — componente
:
Aqui
e
. Calculamos as derivadas:
Portanto
e as demais componentes do rotacional são nulas (campo independente de
e sem componente
). Conclusão:
é conservativo em todo o plano considerado, logo o trabalho entre dois pontos depende só dos pontos inicial e final, não do caminho. Assim podemos usar uma função potencial escala V tal que
.
Passo 3
Agora vamos achar a função potencial
. Pela definição de potencial:
Com
temos
Integramos em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função apenas de
. Agora usamos a segunda condição
e isto deve ser igual a
. Como
, temos
. Portanto
Logo
é constante. Podemos escolher a constante zero (só muda a referência do potencial). Assim tomamos
Breve explicação didática: a função potencial
é um escalar tal que seu gradiente negativo dá o campo elétrico. A vantagem é que, se o campo é conservativo, a integral de linha de
torna-se apenas diferença de
, o que evita parametrizar a curva complicada.
Passo 4
Calculamos a diferença de potencial entre final e inicial:
Usando
:
Portanto
Passo 5
Relação entre trabalho e potencial:
A integral de linha de satisfaz
A integral de linha de
Multiplicando por
obtemos o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga:
Importante explicar o sinal: este
é o trabalho realizado pelo campo (pela força elétrica). Se a questão pede “o trabalho necessário para mover” no sentido de quanto trabalho o agente externo deve fornecer para mover lentamente contra o campo, então o trabalho fornecido pelo agente externo é
Vou apresentar ambos (campo e agente externo) para eliminar ambiguidades.
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos. Já temos
e
. Calculamos primeiro a integral de
:
Logo o trabalho realizado pelo campo é
Fazendo as contas:
Passo 7
O trabalho que o agente externo precisa fornecer (para mover lentamente e sem aceleração) é o negativo disso:
Interpretação física rápida: como a carga é negativa e o campo faz um trabalho negativo de
, isso significa que o campo retira energia da carga durante o deslocamento; portanto um agente externo teria que fornecer energia positiva de
para contrariar o campo e realizar o deslocamento de forma lenta.
Resposta
Trabalho realizado pelo campo elétrico:
Trabalho necessário (fornecido por um agente externo, em movimento quasi-estático):
Trabalho necessário (fornecido por um agente externo, em movimento quasi-estático):