Calcule o trabalho necessário para mover uma carga pontual Q=-20 \mu \mathrm{C} da origem até o ponto (4,2,0) \mathrm{m} dentro campo elétrico representado por \vec{E}=2(x+4 y) \hat{i}+8 x \hat{j} no SI, ao longo da trajetória x^{2}=8 y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho necessário para mover uma carga pontual da origem até o ponto (4,2,0) ao longo da curva x^{2}=8y dentro de um campo elétrico dado. Dados fornecidos:
Q = -20\\ \mu\mathrm{C} = -20\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
\vec{E}(x,y,z)=2(x+4y)\,\hat{i}+8x\,\hat{j}.
Ponto inicial: (0,0,0). Ponto final: (4,2,0).
Pergunta explicitada: calcular o trabalho associado ao deslocamento dessa carga ao longo da trajetória indicada. (Mais adiante eu explico a diferença entre o trabalho realizado pelo campo e o trabalho que precisa ser fornecido por um agente externo.)

Passo 2

Decidindo o método: uma forma direta é calcular a integral de linha
W_{\text{campo}}=\int_{A}^{B} \vec{F}\cdot d\vec{r}=Q\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{r}.
Mas antes de integrar, verificamos se o campo é conservativo (isso simplifica bastante porque torna o trabalho independente da trajetória). Para isso calculamos o rotacional (curl) em 2D — componente k:
\left(\nabla\times\vec{E}\right)_k=\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}.
Aqui E_x=2(x+4y)=2x+8y e E_y=8x. Calculamos as derivadas:
\frac{\partial E_{y}}{\partial x}=\frac{\partial (8x)}{\partial x}=8,
\frac{\partial E_{x}}{\partial y}=\frac{\partial (2x+8y)}{\partial y}=8.
Portanto
\left(\nabla\times\vec{E}\right)_k=8-8=0
e as demais componentes do rotacional são nulas (campo independente de z e sem componente k). Conclusão: \vec{E} é conservativo em todo o plano considerado, logo o trabalho entre dois pontos depende só dos pontos inicial e final, não do caminho. Assim podemos usar uma função potencial escala V tal que \vec{E}=-\nabla V.

Passo 3

Agora vamos achar a função potencial V(x,y). Pela definição de potencial:
E_x = -\frac{\partial V}{\partial x},\qquad E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}.
Com E_x=2x+8y temos
\frac{\partial V}{\partial x}=-(2x+8y).
Integramos em relação a x (tratando y como constante):
V(x,y)=\int -(2x+8y)\,dx = -x^{2}-8xy + g(y),
onde g(y) é uma função apenas de y. Agora usamos a segunda condição
\frac{\partial V}{\partial y}=-8x + g'(y),
e isto deve ser igual a -E_y. Como E_y=8x, temos -E_y=-8x. Portanto
-8x + g'(y) = -8x \quad\Rightarrow\quad g'(y)=0.
Logo g(y) é constante. Podemos escolher a constante zero (só muda a referência do potencial). Assim tomamos
V(x,y) = -x^{2}-8xy + C,\quad\text{escolhemos }C=0\text{ para simplicidade.}
Breve explicação didática: a função potencial V é um escalar tal que seu gradiente negativo dá o campo elétrico. A vantagem é que, se o campo é conservativo, a integral de linha de \vec{E} torna-se apenas diferença de V, o que evita parametrizar a curva complicada.

Passo 4

Calculamos a diferença de potencial entre final e inicial:
V(B)-V(A)=V(4,2)-V(0,0).
Usando V(x,y)=-x^{2}-8xy:
V(4,2) = -4^{2} -8\cdot4\cdot2 = -16 -64 = -80,
V(0,0)=0.
Portanto
V(B)-V(A) = -80\\ \text{volts}.

Passo 5

Relação entre trabalho e potencial:
A integral de linha de \vec{E} satisfaz
\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{r} = -\bigl(V(B)-V(A)\bigr).
Multiplicando por Q obtemos o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga:
W_{\text{campo}} = Q\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{r} = -Q\bigl(V(B)-V(A)\bigr).
Importante explicar o sinal: este W_{\text{campo}} é o trabalho realizado pelo campo (pela força elétrica). Se a questão pede “o trabalho necessário para mover” no sentido de quanto trabalho o agente externo deve fornecer para mover lentamente contra o campo, então o trabalho fornecido pelo agente externo é
W_{\text{ext}} = -W_{\text{campo}}.
Vou apresentar ambos (campo e agente externo) para eliminar ambiguidades.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos. Já temos V(B)-V(A)=-80\\ \mathrm{V} e Q=-20\times10^{-6}\\ \mathrm{C}. Calculamos primeiro a integral de \vec{E}:
\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{r} = -\bigl(V(B)-V(A)\bigr) = -(-80) = 80.
Logo o trabalho realizado pelo campo é
W_{\text{campo}} = Q\cdot 80 = (-20\times10^{-6})\cdot80\\ \mathrm{J}.
Fazendo as contas:
(-20\times10^{-6})\cdot80 = -1600\times10^{-6} = -1{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

O trabalho que o agente externo precisa fornecer (para mover lentamente e sem aceleração) é o negativo disso:
W_{\text{ext}} = -W_{\text{campo}} = +1{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{J}.
Interpretação física rápida: como a carga é negativa e o campo faz um trabalho negativo de -1{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{J}, isso significa que o campo retira energia da carga durante o deslocamento; portanto um agente externo teria que fornecer energia positiva de 1{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{J} para contrariar o campo e realizar o deslocamento de forma lenta.

Resposta

Trabalho realizado pelo campo elétrico: -1{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{J}
Trabalho necessário (fornecido por um agente externo, em movimento quasi-estático): +1{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{J}

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