Calcule a diferença de trabalho requerida para trazer uma carga puntiforme de Q=2 \mu \mathrm{C} do infinito até a posição r=2 \mathrm{~m} e depois do infinito até r=4 \mathrm{~m}, num campo elétrico representado por \vec{E}=\frac{10^{5}}{r} \hat{r}, no SI.

Passo 1

O enunciado pede a diferença do trabalho requerido para trazer uma carga puntiforme de \infty até r=2\\ \mathrm{m} e de \infty até r=4\\ \mathrm{m} num campo elétrico radial dado por \vec{E}=\dfrac{10^{5}}{r}\,\hat{r} (unidades SI).
Informações dadas:
  • Carga: \;Q=2\\ \mu\mathrm{C}=2\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Campo elétrico: \displaystyle \vec{E}(r)=\frac{10^{5}}{r}\,\hat{r}.
  • Pontos finais: r_{1}=2\\ \mathrm{m} e r_{2}=4\\ \mathrm{m}.
    Pergunta a responder: calcular W_{\infty\to 2}-W_{\infty\to 4}, ou seja, quanto a mais (ou a menos) de trabalho é necessário para levar a carga de \infty até 2\\ \mathrm{m} comparado com \infty até 4\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito chave (explicado devagar): trabalho do agente externo e potencial elétrico.
  • O trabalho realizado por um agente externo, de forma quasiestática, para levar uma carga Q de um ponto A a um ponto B num campo elétrico é igual à variação da energia potencial elétrica da carga: \;W_{\text{ext}}=\Delta U = Q\bigl[V(B)-V(A)\bigr].
  • A diferença de potencial entre dois pontos é ligada ao campo por \displaystyle V(b)-V(a)=-\int_{a}^{b}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
    Aqui queremos a diferença entre dois trabalhos ambos começando em \infty, portanto
W_{\infty\to 2}-W_{\infty\to 4}=Q\bigl[V(2)-V(4)\bigr].
Isso evita problemas de escolher V(\infty), porque a diferença V(2)-V(4) é bem definida.

Passo 3

Expressar V(2)-V(4) como integral do campo. Como \vec{E} é radial e supondo caminho radial,
V(2)-V(4) = -\int_{4}^{2}\vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\int_{4}^{2} E(r')\,dr',
onde E(r')=\dfrac{10^{5}}{r'}. (Aqui d\vec{\ell}=dr'\,\hat{r}, então \vec{E}\cdot d\vec{\ell}=E(r')\,dr'.)

Passo 4

Calcular simbolicamente a integral:
V(2)-V(4) = -\int_{4}^{2} \frac{10^{5}}{r'}\,dr' = -10^{5}\left[\ln r'\right]_{4}^{2} = -10^{5}\bigl(\ln 2 - \ln 4\bigr).
Usando propriedade dos logaritmos \ln 4=\ln(2^{2})=2\ln 2, isto fica
V(2)-V(4) = -10^{5}\bigl(\ln 2 - 2\ln 2\bigr) = -10^{5}(-\ln 2) = 10^{5}\ln 2.
Portanto a diferença de potencial é \;V(2)-V(4)=10^{5}\ln 2.

Passo 5

Agora multiplicamos pela carga para obter a diferença de trabalhos:
W_{\infty\to 2}-W_{\infty\to 4}=Q\bigl[V(2)-V(4)\bigr]=Q\cdot 10^{5}\ln 2.
Substituindo Q=2\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e \ln 2\approx 0,693147,
W_{\infty\to 2}-W_{\infty\to 4} = 2\times10^{-6}\cdot 10^{5}\cdot \ln 2 = 2\times10^{-1}\cdot \ln 2 = 0,2\cdot 0,693147\ldots

Passo 6

Fazendo a conta numérica final:
0,2\times 0,693147\ldots \approx 0,138629\ldots\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos),
W_{\infty\to 2}-W_{\infty\to 4}\approx 0,139\\ \mathrm{J}.
Interpretação rápida: é positivo, ou seja, leva-se cerca de 0,139\\ \mathrm{J} a mais para levar a carga até 2\\ \mathrm{m} do que até 4\\ \mathrm{m} — faz sentido porque o campo aponta radialmente para fora e uma carga positiva exige trabalho extra para ser trazida mais perto da origem.

Resposta

0,139\\ \mathrm{J}

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