(a) Calcule os fatores de escala de coordenadas polares esféricas: h_{r}, h_{\theta} e h_{\varphi}.
(b) Verifique os fatores de escala que calculou pela relação $d s_{i}=h_{i} d q_{i}.
Passo 1
O enunciado define as coordenadas esféricas (q_{1},q_{2},q_{3})=(r,\theta,\varphi) com
e pede:
a) os fatores de escala h_{r},h_{\theta},h_{\varphi};
b) verificar que, de fato, o elemento de linha em cada direção satisfaz \mathrm{d}s_{i}=h_{i}\,\mathrm{d}q_{i}.
Passo 2
Em coordenadas curvilíneas, o fator de escala h_{i} é dado pela norma do vetor \partial\boldsymbol r/\partial q_{i}, onde \boldsymbol r=(x,y,z). Ou seja,
O elemento de linha diferencial em cada direção é \mathrm{d}s_{i}=\bigl\lVert\partial\boldsymbol r/\partial q_{i}\bigr\rVert\,\mathrm{d}q_{i}
=h_{i}\,\mathrm{d}q_{i}.
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