2.1.2 No sistema coordenado polar esférico, q_{1}=r, q_{2}=\theta, q_{3}=\varphi. As equações de transformação correspondentes à Equação (2.1) são
x=r \operatorname{sen} \theta \cos \varphi, \quad y=r \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \varphi, \quad z=r \cos \theta
(a) Calcule os fatores de escala de coordenadas polares esféricas: h_{r}, h_{\theta} e h_{\varphi}.
(b) Verifique os fatores de escala que calculou pela relação $d s_{i}=h_{i} d q_{i}.

Passo 1

O enunciado define as coordenadas esféricas (q_{1},q_{2},q_{3})=(r,\theta,\varphi) com
x=r\sin\theta\cos\varphi,\quad y=r\sin\theta\sin\varphi,\quad z=r\cos\theta
e pede:
a) os fatores de escala h_{r},h_{\theta},h_{\varphi};
b) verificar que, de fato, o elemento de linha em cada direção satisfaz \mathrm{d}s_{i}=h_{i}\,\mathrm{d}q_{i}.

Passo 2

Em coordenadas curvilíneas, o fator de escala h_{i} é dado pela norma do vetor \partial\boldsymbol r/\partial q_{i}, onde \boldsymbol r=(x,y,z). Ou seja,
h_{i}=\Bigl\lVert\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial q_{i}}\Bigr\rVert.
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Para q_{1}=r temos
\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial r} =\Bigl(\sin\theta\cos\varphi,\;\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\theta\Bigr).
A norma desse vetor é
h_{r} =\sqrt{\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\theta} =\sqrt{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta} =1.

Passo 4

Para q_{2}=\theta obtemos
\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial \theta} =\bigl(r\cos\theta\cos\varphi,\;r\cos\theta\sin\varphi,\;-r\sin\theta\bigr).
A norma é
h_{\theta} =\sqrt{r^{2}\cos^{2}\theta\cos^{2}\varphi +r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\varphi +r^{2}\sin^{2}\theta} =r\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta} =r.

Passo 5

Para q_{3}=\varphi temos
\frac{\partial\boldsymbol r}{\partial \varphi} =\bigl(-r\sin\theta\sin\varphi,\;r\sin\theta\cos\varphi,\;0\bigr).
A norma resulta em
h_{\varphi} =\sqrt{r^{2}\sin^{2}\theta\,\sin^{2}\varphi +r^{2}\sin^{2}\theta\,\cos^{2}\varphi} =r\sin\theta.

Passo 6

O elemento de linha diferencial em cada direção é \mathrm{d}s_{i}=\bigl\lVert\partial\boldsymbol r/\partial q_{i}\bigr\rVert\,\mathrm{d}q_{i} =h_{i}\,\mathrm{d}q_{i}.
Logo:
\mathrm{d}s_{r}=1\cdot\mathrm{d}r,\quad \mathrm{d}s_{\theta}=r\,\mathrm{d}\theta,\quad \mathrm{d}s_{\varphi}=r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi,
confirmando a relação pedida.

Resposta

h_{r}=1, \;h_{\theta}=r, \;h_{\varphi}=r\sin\theta.

Exercícios relacionados