1.10.2 Ache o trabalho realizado para percorrer um círculo unitário no plano x y :
(a) no sentido anti-horário de 0 \mathrm{a} \pi,
(b) no sentido horário de 0 a -\pi, realizando trabalho contra um campo de força dado por
\mathbf{F}=\frac{-\hat{\mathbf{x}} y}{x^{2}+y^{2}}+\frac{\hat{\mathbf{y}} x}{x^{2}+y^{2}}
Note que o trabalho realizado depende do trajeto.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado por um agente externo ao percorrer o semicírculo de raio 1 no plano xy contra o campo
\mathbf{F} = \frac{-\hat{\mathbf{x}}\,y}{x^{2}+y^{2}} + \frac{\hat{\mathbf{y}}\,x}{x^{2}+y^{2}}
(a) de \theta=0 a \theta=\pi no sentido anti-horário, e
(b) de \theta=0 a \theta=-\pi no sentido horário.
Para resolver vamos usar integral de linha de um campo vetorial em curva parametrizada.

Passo 2

Parametrizamos o semicírculo unitário por
\mathbf{r}(t) = (\cos t,\;\sin t),
com
\mathbf{r}'(t) = (-\sin t,\;\cos t).

Passo 3

Sobre o círculo unitário temos x^{2}+y^{2}=1, então
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) = \bigl(-\sin t,\;\cos t\bigr).

Passo 4

O elemento de trabalho do campo é
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt = (-\sin t)(-\,\sin t) + (\cos t)(\cos t)\,dt = \sin^{2}t + \cos^{2}t \;=\;1\,dt.
Logo
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_{t_{0}}^{t_{1}} 1\,dt = t_{1}-t_{0}.

Passo 5

Como queremos o trabalho contra o campo, usamos
W \;=\; -\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
(a) Para t de 0 a \pi: \displaystyle \int\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\pi, então
W_{(a)} = -\pi.
(b) Para t de 0 a -\pi: \displaystyle \int\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\pi, então
W_{(b)} = +\pi.

Resposta

(a) W=-\pi
(b) W=\pi

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