Tendo \hat{\mathbf{q}}_{1} como um vetor unitário na direção crescente de q_{1}, mostre que
\boldsymbol{\nabla} \cdot \hat{\mathbf{q}}_{1}=\frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \frac{\partial\left(h_{2} h_{3}\right)}{\partial q_{1}}
Note que, mesmo que \hat{\mathbf{q}}_{1} seja um vetor unitário, sua divergência e rotacional não desaparecem necessariamente.

Passo 1

O enunciado quer a divergência do vetor unitário \hat{\mathbf{q}}_{1} num sistema de coordenadas ortogonais cujos fatores de escala (Lame) são h_{1},h_{2},h_{3}. Para isso, vamos usar a expressão conhecida para a divergência de um campo vetorial \mathbf{A} em coordenadas ortogonais.

Passo 2

Em coordenadas ortogonais, se \mathbf{A}=A_{1}\,\hat{\mathbf{q}}_{1}+A_{2}\,\hat{\mathbf{q}}_{2}+A_{3}\,\hat{\mathbf{q}}_{3}, então
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} =\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\Bigl[ \frac{\partial\bigl(h_{2}h_{3}A_{1}\bigr)}{\partial q_{1}} +\frac{\partial\bigl(h_{3}h_{1}A_{2}\bigr)}{\partial q_{2}} +\frac{\partial\bigl(h_{1}h_{2}A_{3}\bigr)}{\partial q_{3}} \Bigr].
No nosso caso \mathbf{A}=\hat{\mathbf{q}}_{1}, logo A_{1}=1 e A_{2}=A_{3}=0. Substituindo apenas o primeiro termo,
\boldsymbol{\nabla}\cdot\hat{\mathbf{q}}_{1} =\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\, \frac{\partial\bigl(h_{2}h_{3}\cdot1\bigr)}{\partial q_{1}} =\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial\bigl(h_{2}h_{3}\bigr)}{\partial q_{1}}.

Resposta

\boldsymbol{\nabla}\cdot\hat{\mathbf{q}}_{1} =\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} \frac{\partial\bigl(h_{2}h_{3}\bigr)}{\partial q_{1}}.

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